码农眼中的数学之～数学基础

时间  2019-11-07
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写在前面：文章里面的图片公式都是逆天一个个打出来画出来的，公式系列基本上都提供了源码html

图片基本上不太加水印了，加了的也留了空间可让你裁剪去水印，这样你引用也比较方便 ～python

可是仍是想说下：”加个参考连接呗，逆天写做也不容易啊～“git

在线预览：http://github.lesschina.com/python/ai/math/数学基础.htmlgithub

1.基础概念

线性代数研究的是什么内容？算法

  1. 把2维世界转换成2维的世界
  2. 把3维世界转换成2维的世界
  3. 把2维世界转换成3维的世界

1维直线、2维平面（长宽）、3维空间（长宽高 | xyz轴）、4维时空（xyz轴+时间轴）app

学习中主要就是学习矩阵、向量等，理解线性映射、特征值和特征向量等。less

总结：线性代数就是一门将M维世界与N维世界联系起来的学科函数

1.1.数的分类

一开始人们用的数都是 天然数 (0、一、2...)来计算学习

后来发现用小数减大数就无法计算了。eg：1-2=?测试

接着就引入了负数，而后经常使用的数就变成了 整数 (正整数、0、负整数)，这样就能够快乐的加减乘运算

整数：

  • 天然数
  • 负数

后来发现，像1/3=?这类的不能整除了，因而就引入了分数，

这样数的界限又扩充了，就叫 有理数 ，这样加减乘除均可以经过分数来表示了

有理数（分数）：

  • 整数
    • 正整数
    • 0
    • 负整数

好景不长，以后求圆面积啥的，又发现了像π、√3这类的，无法用分数表示的数，

因而就又在原有基础上扩展了，加入了无理数，数的界限又扩展了==> 实数

实数（小数）：

  1. 有理数（分数）
    • 整数
      • 正整数
      • 0
      • 负整数
    • 非整数的有理数
  2. 无理数

这下总算能够了吧，可事实每每出乎意料，像二次曲线求解有无解的状况（曲线跟x轴不相交）

这太不科学了吧，而后就引入了 虚数i 的概念，并定义i²=-1，数的范围又扩大了，就叫 复数

举个例子(后面有推导)：

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

之前咱们遇到：x²+3=0，由于判别式b²-4ac<0 因此方程无解（或者曲线画出来，看跟x轴有几个交点==>就说明有几个解）

其实咱们中学学的这个无解，指的是在实数范围内无解

引入虚数后：x²+3=0==> x²-(-3)=0，由于i²=-1 ==> (x+√3i)(x-√3i)=0 有解了

In [1]: 
# 画个图看看曲线长什么样
import matplotlib.pyplot as plt
In [2]: 
# 生成x和y的值
x_list = list(range(-10, 11))
y_list = [x**2 + 3 for x in x_list] # 2**3 ==> 8 **是Python里面的幂运算符

print(x_list)
print(y_list)

# 画图
plt.plot(x_list, y_list)
# 显示图片
plt.show()
  
[-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[103, 84, 67, 52, 39, 28, 19, 12, 7, 4, 3, 4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, 84, 103]
 
 

综上所述，数能够分为：

复数：z = a+bi，i² = -1

  1. 实数（虚部b=0）
    • 有理数
      1. 整数
        • 正整数：一、二、3
        • 0
        • 负整数：-一、-二、-3
      2. 非整数的有理数（[正负]分数）
        • [正负]有限小数：0.3 ==> (3/10)
        • [正负]循环小数：0.3333... (1/3)
    • 无理数
      • 无限不循环小数：π、√3
  2. 虚数（虚部b!=0）
    • 纯虚数（虚部b!=0，且实部a=0）
    • 非纯虚数

扩展：二次方程求解公式的推导

这个应该是初中学的，不少学校教数学就让背公式，其实这样容易忘记（你好几年不接触数学公式还记得？）会推导才是根本 ：

其实不只仅是数学公式了，不少程序中的算法也是这样，都是须要推导的，否则只能用而不能深究，就更不提创新了。不扯了，进入正题：

$\mathbf{ax^2+bx+c=0（a\neq0)}$

要求x，那咱们先两边同时除以a：

$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}$

把和x不要紧的常数移到等号另外一边：

$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}$

看到左边就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 咱们来凑一下：

$\mathbf{x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$

由于：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 因此能够转换成：

$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$

把右边化简一下：

$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

去左边平方（右边开根号）：

$\mathbf{x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

把左边的常数移过去：

$\mathbf{x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

方便有需求的人，推导过程的源码贴一下：

$ax^2+bx+c=0（a\neq0)$

要求x，那咱们先两边同时除以a：

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

把和x不要紧的常数移到等号另外一边：

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

看到左边就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 咱们来凑一下：

$x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

由于：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 因此能够转换成：

$(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

把右边化简一下：

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

去左边平方（右边开根号）：

$x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

把左边的常数移过去：

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

1.2.命题相关

命题中学阶段就接触了，咱们来先说说命题 ：能够判断真假的语句叫作命题

好比：小明是个男的，这个无论对错确定有个肯定的答案

再好比：小明是活泼好学的孩子，这个就不必定了，公说公有理婆说婆有理，这种结果模糊不肯定的就不是命题

充分条件和必要条件

这个时间长了容易混淆，举个例子：小明是人类，人类是小明

经过小明确定能推出他是我的，这个就叫必要条件

人就必定是小明吗？不必定吧 ==> 这个就是充分条件

若是P成立，Q就成立是真命题时，就能够表示为：P=>Q （由P确定能推导出Q）（eg：小明=>人）:

  1. P是Q的必要条件
  2. Q是P的充分条件

充分必要条件：

若是P=>Q，并且Q=>P，那么：

  1. P是Q的充分必要条件
  2. Q是P的充分必要条件

表示为：P<=>Q

1.3.集合系列

集合应该是刚上高中那会教的内容，咱们来看看：

集合 （Python里面用 set 来表示）：某种特定性质的对象，汇总成的集体(人以类聚,物以群分) 这些对象称为该集合的元素。

集合中的元素有三个特征：

  1. 肯定性（集合中的元素必须是肯定的）
  2. 互异性（集合中的元素互不相同）eg：集合A={1，a}，则a不能等于1）
  3. 无序性（集合中的元素没有前后之分）eg：集合{3,4,5}和{3,5,4}是同一个集合

表示方式，eg：10之内的偶数：

  1. X = {0, 2, 4, 6, 8}
  2. X = {2n | n = 0, 1, 2, 3, 4}

当x是X集合里面的元素时，能够表示为：x ∈ X eg:2 ∈ X

In [3]: 
# Python3 Code
X = set([x for x in range(10) if x%2==0])

print(X)
  
{0, 2, 4, 6, 8}
In [4]: 
# 当x是X集合里面的元素时，能够表示为：x ∈ X
# eg:2 ∈ X
2 in X
Out[4]: 
True
 

子集 ：当一个集合A里面全部元素都属于集合B时，称A是B的子集。即：A ⊆ B

eg：集合A：{1,2,3} 集合B：{1,2,3,4} ==> A ⊆ B

若是两个集合A和B的元素彻底相同，则称A与B两个集合相等，记为 A=B：

集合A：{1,2,3,4} 集合B：{1,2,3,4} ==> A ⊆ B and B ⊆ A ==> A = B

真子集 ：若是集合A是集合B的子集A ⊆ B，而且集合B中至少有一个元素x∉A，那么集合A叫作集合B的真子集

简单讲：若是A包含于B,且A不等于B,就说集合A是集合B的真子集（A有的B全有，B有的A不必定有）

若是集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，咱们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。真子集就是一个集合中的元素所有是另外一个集合中的元素，但不存在相等。全部亚洲国家组成的集合是地球上全部国家组成的集合的真子集；全部天然数的集合是全部整数的集合的真子集。

In [5]: 
A = set([1,2,3])
B = set([1,2,3,4])

print(A)
print(B)
  
{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
In [6]: 
# 子集（判断A是不是B的子集）
A.issubset(B)
Out[6]: 
True
In [7]: 
# 父集（B是不是A的父集）
B.issuperset(A)
Out[7]: 
True
In [8]: 
A = B

A.issubset(B)
Out[8]: 
True
 

并集 ：由全部属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，读做“A并B”（或“B并A”）并集越并越多，并且没有重复元素。

记做A∪B or B∪A，即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}

交集 ：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，读做“A交B”（或“B交A”）交集越交越少。

记做A∩B or B∩A，即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}

若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A

差集 ：A，B是两个集合，全部x∈A且x∉B的元素构成的集合，叫作集合A减集合B（或集合A与集合B之差）

相似地，对于集合A、B，咱们把集合 A-B={x∣x∈A,且x∉B} 叫作A与B的差集（把B中元素从A中减去）

补集 ：通常指绝对补集，即通常地，设S是一个集合，A是S的一个子集（S包含于A）（大前提），由S中全部不属于A的元素组成的集合，叫作子集A在S中的绝对补集。

扩展：在集合论和数学的其余分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集

In [9]: 
set1=set([1,2,5])
set2=set([2,4,6])

print(set1)
print(set2)
  
{1, 2, 5}
{2, 4, 6}
In [10]: 
# 交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B}
set1 & set2
Out[10]: 
{2}
In [11]: 
# 并集 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
set1 | set2
Out[11]: 
{1, 2, 4, 5, 6}
In [12]: 
# 差集 A-B={x∣x∈A,且x∉B}
set1 - set2
Out[12]: 
{1, 5}
In [13]: 
set3=set(list(range(10)))

print(set3)
  
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
In [14]: 
# 【大前提】set2是set3的一个子集（set3包含于set2）
set2.issubset(set3)
Out[14]: 
True
In [15]: 
# 这时候求差集，就等于求补集
set3 - set2
Out[15]: 
{0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}
 

1.4.映射系列（映射、像、定义域和值域、满单射、双射、逆映射、线性映射等）

这个系列应该是高一的知识

1.映射与像 ：

设A,B是两个非空的集合，若是按某一个肯定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y与之对应，那么就称对应的规则f 为从集合A到集合B的映射 通常这样表示：f：A → B。其中，y称为元素x在映射f下的 像 ，记做：y=f(x)。

通俗讲：

把使集合A的元素与集合B的元素相对应的规则叫作 “集合A到集合B的映射”

若是从A集合中取元素x，经过f获得其对应B集合的元素y。这个新的元素就叫作：“x经过映射f造成的像”

像这个说的仍是有点抽象，举个简单的例子：

高中的时候常常作这样的练习：f(x)=2x+1

用映射来解释就是：“映射 f 是使集合B的元素 2x+1 与集合A的元素 x 相对应的规则” 映射图示 再解释像就简单了：f(2)

x=2 经过 f 造成的像是 2*2+1 像图示

2.值域和定义域：

咱们把映像f产生的值组成一个集合{f(0)、f(1)、f(2)...}，这个集合就叫作“映像f的值域”。

而x值组成的集合 {0、一、2...} 就叫作“映像f的定义域”。

这个值域的集合每每是集合B的子集：$\lbrace f(x_1)，f(x_2)...f(x_n)\rbrace \subseteq B$

好比说：f(x)=2x+1 定义域A{0、一、二、3}，那么求出来的值域是：{一、三、五、7}，而B集合是{一、三、五、七、8} 定义域和值域

 

3.满射、单射、双射：

满射：若是值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫作满射。

来个示意图：f(x)=x$^2$ 满射示意图 其实老版本的教科书还有一种说法叫作：”当映射f的值域等于集合B时，f为满射“

单射：设f是由集合A到集合B的映射，若是全部x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射（函数f被称为是单射时，对每一值域内的y，存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y）

来个图示：（两种状况都是） 单射图示

双射 (一一映射)：既是单射又是满射的映射称为双射

图示：（偷个懒，拿上面的图片改改） 双射图示

 

4.逆映射：

此次先不定义，先看个图： 逆映射图示

看完图基本上懂了（映射g就是映射f的逆映射），如今来定义一下：

逆映射 :

当f是双射（一一对应的单射）而且映射f和映射g知足：

  1. g(f(x))=x
  2. f(g(x))=x

那么映射g就是映射f的逆映射，表示方式：$f^{-1}:B\rightarrow A$

5.线性映射

后面说线性回归之类的代码和数学知识时会讲，这边由于也是属于映射内容，因此简单提一下定义：

假设 $x_1$ 和 $x_2$ 是属于A集合中的任意元素，c 为任意实数，f 为从A到B的映射。

当映射f知足如下两个条件：

  1. $f(x_1)+f(x_2)=f(x_1+x_2)$
  2. $cf(x_1)=f(cx_1)$

那么映射f就是从A到B的线性映射

举个例子：f(x)=x 验证一下：是线性映射

$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2=f(x_1+x_2)$

$cf(x_1)=cx_1=f(cx_1)$

再测试一个不是的：f(x)=x+1 验证一下：

$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2+2$

$f(x_1+x_2)=x_1+x_2+1$

$f(x_1)+f(x_2)\neq f(x_1+x_2)$

后面都不用验证了，不是线性映射

 

1.5.排列组合

这个应该是高二的时候学的，简单提一下

排列组合 ：

  1. 排列：从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序
  2. 组合：从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序

通俗讲：

组合个数：“从n个中挑出r个的个数” 通常用 $C^r_n$ 来表示(n>=r)

$\Large {C^r_n=\frac{n!}{r!(n-r)!}}$

排列个数：“从n个中挑出r个的个数，而后再把选好的r个事物按照顺序排列的种数” 通常用 $A^r_n$ 来表示(n>=r)

$\Large {A^r_n=r!C^r_n=\frac{n!}{(n-r)!}}$

若是还抽象的话，咱们来看个案例：

小明请小潘和小张一块儿去食堂吃饭，食堂今天总共有5个菜

1.试问，他们从5个菜中选出3个不一样的菜，有几种可能性？

假设有A、B、C、D、E这5个菜，那选出3个有以下组合(无论顺序)：

列举 列举 列举 列举 列举 列举
ABC ABD ABE ACD ACE ADE
      BCD BCE BDE
          CDE

$\large {C^3_5=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}=10}$

2.试问，选出的这3个菜有几种排放顺序？

假设选出的是A、B、C这3个菜，那它的排序有几种可能：

序号 列举 列举
A ABC ACB
B BAC BCA
C CAB CBA

其实不管选择哪3种，他们的排序都是6种，3!=3×2×1=6

简单分析一下：

第一道菜能够在已经选好的菜里面选1个，那就是3种可能

第二道菜能够在剩下的2道菜中选1个，那就是2种可能（第一道刚才选好了，已经算肯定的了）

第三道菜不用选了，由于如今只剩下1道了，那就是1种可能

因此有 3×2×1种可能==>3!=6种可能

3.试问，从5个菜中选出3个不一样的菜，并按顺序打包带走总共有多少种可能？

排列的个数其实就是：5选3组合个数 × 3道菜可能的排序 = 10 × 6 =60

$\large {A^3_5=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{2×1}=60}$

简单分析推导一下：

第一个菜能够在5道菜里面选一个，那就是5种可能

第二道菜能够在剩下的4道菜里面选一个，那就是4种可能

第三道菜能够在剩下的3道菜里面选一个，那就是3种可能

那总共可能性就是：5×4×3=60种可能性，和上面公式计算同样结果

排列、组合、二项式定理公式口诀：

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。

两个公式两性质，两种思想和方法。概括出排列组合，应用问题须转化。

排列组合在一块儿，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证实建模试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。
 

1.5.高中函数附录

之前在网上找的资料，大家有更好的能够贴一下（点我查看）

1.6.高中数学公式

之前在网上找的资料，大家有更好的能够贴一下（点我查看）

2.矩阵预告

下次和Numpy一块儿讲，这样才会～数学不枯燥，代码不空洞

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