数论——扩展欧几里得算法与线性同余方程

1、扩展欧几里得算法

裴蜀（Bézout）定理

对任何整数a、b和它们的最大公约数d=gcd(a,b)，必定存在整数x,y，使ax+by=d成立。 

　　下面证实裴蜀定理：

证实：

　　在欧几里得算法的最后一步，即b=0时，显然有一对整数x = 1，y = 0，使得a*1+0*0=gcd(a,0)。

　　当b>0时，

　　∵ by + (a mod b) x = d，即 by + (a - a/b * b) x = d（注：a/b下取整）。

　　∴ 整理得 ax + b(y - a/b * x)=d。

　　令x' = x，y' = y，因而 ax' + by' = d。因此x'和y'就是知足条件的一组解。

　　由欧几里得算法递归过程及数学概括法，可知裴蜀定理成立。

　　证毕！

　　由上述证实过程可得整数x和y的计算方法，这种计算方法被称为扩展欧几里得算法。

代码实现

　　模板题连接：扩展欧几里得算法

　　代码以下：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(!b) { x=1;y=0; return a; } int d=exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return d; }

ax+by=d的通解

x = x₀ + k*(b/d)

y = y₀ - k*(b/d)

其中k能够是任意一个整数，x_0,y₀是ax+by=d的一组特殊解。

　　下面证实上式的正确性：

　　ax + by = a(x0 + k(b/d)) + b(y0 - k(a/d)) = ax0 +by0 + k(ab/d) - k(ab/d) =d。

　　下面证实ax+by=d的通解均是上述形式：

证实：

　　ax₀ + by₀ = d

　　ax' + by' =d

　　做差可得：a(x₀ - x') + b(y₀ - y') = 0

　　等式两边同除以d得，a/d(x₀ - x') + b/d(y₀ - y') = 0

　　移项得，a/d(x₀ - x') = - b/d(y₀ - y')

　　由于d是a和b的最大公约数，因此(a/d)与(b/d)互质。

　　又由于 (b/d) | a/b(x₀ - x')，因此 (b/d) | (x₀ - x')。

　　因此x0 - x' = k * (b/d)，即x' = x₀ - k * (b/d)。

　　因为k能够是任意的整数，因此上式等价于x' = x₀ + k * (b/d)。

　　证毕！

2、线性同余方程

解法原理

给定整数a,b,m，求一个整数x知足a∗x≡b(mod m)，或者给出无解。

　　a * x ≡ b（mod m），等价于 ax + my = b（b必定是gcd(a,m)的倍数）。

　　下面给出证实：

证实：

　　设ax mod m = b mod m = r

　　mk₁ + r =ax

　　mk₂ + r =b

　　其中k₁,k₂都是整数，

　　做差得：m(k₁ - k₂) = ax - b

　　因此 ax = mk +b

　　证毕！

　　根据扩展欧几里得算法，能够获得 ax' + my' = d（d = gcd(a,m））的一组解x'和y'。

　　那么在其等式两边同乘上(b/d)便可得：a((b/d)x') + m((b/d)y') = d * (b/d) = b。

　　因而咱们便获得了线性同余方程的一组解即为x = (b/d)x'和y = (b/d)y'。

　　由于只要求x，因此只需返回x便可。

代码实现

　　模板题连接：线性同余方程

　　根据上述原理，咱们只须要用欧几里得算法得出一组解以后，再将x乘上(b/d)便可。

　　代码以下：

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstdio>
using namespace std; int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(!b) { x=1;y=0; return a; } int d=exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return d; } int main() { int n;scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { int a,b,m;scanf("%d%d%d",&a,&b,&m); int x,y; int d=exgcd(a,m,x,y); if(b%d) { puts("impossible"); continue; } x=(long long)x * (b/d) % m; printf("%d\n",x); } return 0; }