介绍一种二维线性插值计算方法

插值计算方法是工程实践中常常用到的方法。当获取的原始数据为离散点状数据时，就须要经过插值计算方法来获取离散点之间的数据。经常使用的插值计算方法有线性插值、样条插值等，可是这些插值方法一般是一维插值方法，即y=f(x)的状况，对于二维数据即z=f(x,y)的状况应用起来存在一些困难。

首先来简单介绍一下最简单的一维插值计算方法。原始数据为一系列的散点，即（x₁,y₁）、（x₂,y₂）....（x_i,y_i），对于任意的x，求取其对应的y值。其计算过程为，首先求取x值位于哪两个三点之间，假如x_j≤x<x_j+1，则y=(x-x_j)×(y_j+1-y_j)/(x_j+1-x_j)+y_j。该方法能够较准确地求取任意x值对应的y值，且该方法通常只应用于内插，当x值超出原始散点x范围时，采用线性外插方法。

而对于二维插值却存在必定问题。原始数据为一系列的散点（x₁,y₁,z₁）、（x₂,y₂,z₂）....（x_i,y_i,z_i），此时对于任意的（x，y）值，要想求取其对应的z值。

一般容易想到的方法是，首先基于已知的散点数据（x₁,y₁,z₁）、（x₂,y₂,z₂）....（x_i,y_i,z_i），经过某种拟合方法得到一个适用的计算公式，即z=f（x，y），而后经过该公式来计算任意的（x，y）对应的z值。该方法可以必定程度上解决没法获取散点以外数据的问题。可是，该方法拟合过程引入的误差是不可忽略的，一种检验的方法是，选取原始散点中的某一个点的数据（x_j,y_j,z_j）进行检验，将该点的数据代入计算公式z=f（x，y）得到一个值z_计算=f（x_j,y_j），对比能够发现z_计算≠z_j，且进一步计算其相对误差量能够发现，相对误差量（z_计算 -  z_j）/z_j不是一个小量，某些时候甚至可以达到30%，所以该方法很难实现有效的工程应用。

本文推荐一种二维线性插值计算方法，能够有效避免原始数据代入计算结果不一致的问题。该方法适用的一个前提是，原始散点数据需知足必定特征，即某些原始散点的x值需相等，且能够基于x值将原始散点进行分组。即原始散点具有以下特征，可进行以下分组分类：

（x1,y1,z1）	（x1,y2,z2）		（x1,ym,zm）
（x2,ym+1,zm+1）	（x2,ym+2,zm+2）	.	（x2,y2m,z2m）
		...
（xn,ynm-m+1,znm-m+1）	（xn,ynm-m+2,znm-m+2）		（xn,ynm,znm）

 对于该类型的原始散点，求取对应于（x未知,y未知）值时的Z未知值，其计算过程以下

1）首先计算x值位于哪一个区间，经过逐个比较得到xj≤x<xj+1；

2）对于x_j所在的数组，得到其对应原始散点的y、z值组成二维散点（y_jm-m+1,z_jm-m+1）、（y_jm-m+2,z_jm-m+2）...（y_jm,z_jm），在该二维散点中，经过一维线性插值计算得到当y=y_未知时，对应的z值为_zxj，未知

3）同理，对于x_j+1所在的数组，得到其对应原始散点的y、z值组成二维散点（y_jm+1,z_jm+1）、（y_jm+2,z_jm+2）...（y_jm+m,z_jm+m），在该二维散点中，经过一维线性插值计算得到当y=y_未知时，对应的z值为z_{xj+1，未知}

4)经过步骤(2)、(3)得到的两个点（xj，y_未知，zx_j，未知）、（x_j+1，y_未知，z_{xj+1，未知}），与所求点（x_未知，y_未知，z_未知），三个点一定在同一条直线上，所以能够基于（x_j，y_未知，z_xj，未知）、（x_j+1，y_未知，z_{xj+1，未知}）两点，经过一维线性插值计算得到点（x_未知，y_未知，z_未知）的值。

以上为所述二维线性插值计算方法的全过程。