关于排列组合

排列：

从\(n\)我的中选出\(m\)我的来排队，他的作法是\(A_{n}^{m}\)
第一个位置能够放\(n\)个中的一个，第二个位置能够放\(n-1\)个中的一个......第\(m\)的位置能够放\(n-m+1\)个中的一个
因此可得：\(A_{n}^{m}=\frac{n!}{n-m!}\)

组合：

上面的问题咱们能够分两步来看
1.选出\(m\)我的
2.这\(m\)我的排队
因此\(A_{n}^{m}=X*A_{m}^{m}\)
这个X就是从\(n\)我的中选出\(m\)我的来的方案数
因此\(X=C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

组合数的性质最多见的两个是
\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)
\(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\)

区别：

排列是有序的就是说方案\(2,1,4\)和\(1,4,2\)是不一样的
而组合是无序的即方案\(1,2,4\)和方案\(4,2,1\)是相同的

例：

求\(1*2*3+2*3*4+......+8*9*10\)

咱们首先观察一下，咱们的排列公式\(A_{n}^{m}\)就是从\(n\)开始往前乘\(m\)个数因此咱们能够获得在第一个加号以前的乘法的答案其实就是\(A_{3}^{3}\)同理咱们能够获得第二个加号以前的是\(A_{4}^{3}\).....一直能够算到最后一个加号以后是\(A_{10}^{3}\)
根据咱们推倒组合数的式子咱们能够把\(A_3^3\)转化成\(C_3^3A_3^3\)同理后边的也所有能够转换
咱们再把\(A_3^3\)提出括号里就是\(C_3^3+C_4^3+......+C_{10}^3\)
根据组合数的第二个性质咱们能够合并前两项由于咱们知道\(C_3^3==C_4^4\)因此直接换下来前两项就变成了\(C_5^4\)他又能够与后边的\(C_5^3\)合并一直合并直到最后是\(A_3^3C_{11}^4\)
再根据定义什么的算出来就行了

谢谢收看，祝身体健康！