质数

质数的定义

质数又称做素数.
质数是除了1和自己没有其余因数的数.
与之相反的是合数.
1不属于质数或合数.

质数的判断

假设咱们要判断\(n\)是否是质数.
从2枚举\(n-1\),若能整除\(n\),\(n\)就不是质数.
时间复杂度\(O(n)\).
但因数是成对的(除了\(\sqrt n\))
令\(n=c_1 c_2\),假设\(c_1 \le c_2\)
则\(c_1 \le \sqrt n , c_2 \ge \sqrt n\)
因此只需枚举到\(\sqrt n\).

bool isprime(long long x) {
    for(int i=2; i<=sqrt(x); i++) {
        if(x%i==0) return false;
    }
    return true;
}

时间复杂度\(O(\sqrt n)\).

质数筛法

如今咱们要求\(1\)到\(n\)中所有质数.

暴力

最简单的办法就是判断每一个数是否为质数.
时间复杂度\(O(n \sqrt n)\).

埃氏筛法

从\(1\)到\(\sqrt n\),若这个数没有被标记,即为质数.
只要发现了一个质数\(t\),就把从\(1\)到\(n\)中所有\(t\)的倍数标记.
时间复杂度\(O(n \log n)\)

欧拉线性筛法

对于每一个\(i(1<i<n)\),筛去全部小于\(i\)的质数与\(i\)的乘积.
不难发现,有些合数被重复筛去.
设全部小于\(i\)的质数分别为\(p_1,p_2,...,p_j\).
当\(i\)%\(p_k=0\)时,中止筛\(i\)的倍数,便可避免重复.
由于当\(l>k\)时,全部\(i*p_l\)都会被比\(i\)大的数与\(p_k\)的乘积筛去.

for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]) {
        cnt++;
        pri[cnt]=i;
    }
    for(int j=1;i*pri[j]<=n;j++){
        vis[i*pri[j]]=true;
        if(i%pri[j]==0) break;
    }
}

时间复杂度\(O(n)\)

质因数分解

一个数的质因数一定小于等于\(\sqrt n\).
只需把\(i\)从\(2\)枚举到\(\sqrt n\),从\(n\)中去掉全部\(i\)并作记录,就能求出\(n\)的质因数.

for(int i=2;i<=sqrt(n);i++) {
    while(n%i==0) {
        n/=i;
        cnt[i]++;
    }
}

时间复杂度\(O(\sqrt n)\)

欧拉函数

欧拉函数是从\(1\)到\(n-1\)的数中与\(n\)互质的数的个数.

性质

1.对于质数\(n\),\(φ(n)=n-1\).
2.对于质数\(p\),\(φ(p^k)=(p-1)*p^{k-1}\).

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