paper 153：Delaunay三角剖分算法--get 这个小技术吧！

直接摘自百度百科，但愿你们能根据下面的介绍稍微理顺思路，按需使用，加油！

解释一下：点集的三角剖分（Triangulation），对数值分析（好比有限元分析）以及图形学来讲，都是极为重要的一项预处理技术。尤为是Delaunay三角剖分，因为其独特性，关于点集的不少种几何图都和Delaunay三角剖分相关，如Voronoi图，EMST树，Gabriel图等。Delaunay三角剖分有最大化最小角，“最接近于规则化的“的三角网和惟一性（任意四点不能共圆）两个特色。

 

Delaunay三角剖分算法定义

 

【定义】三角剖分 ^[1]  ：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点做为端点构成的封闭线段, E为e的集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图知足条件：

1.除了 端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。

2.没有相交边。

3.平面图中全部的面都是三角面，且全部三角面的合集是散点集V的 凸包。

在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一种特殊的 三角剖分。先从Delaunay边提及：

【定义】Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e

若知足下列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆通过a,b两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其余的点，这一特性又称空圆特性。

【定义】Delaunay三角剖分：若是点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。

优化处理:

理论上为了构造Delaunay 三角网 ^[2]  ，Lawson提出的局部优化过程LOP(Local Optimization Procedure)，通常三角网通过LOP处理，便可确保成为Delaunay三角网，其基本作法以下所示：

1.将两个具备共同边的三角形合成一个多边形。

2.以最大空圆准则做检查，看其第四个顶点是否在三角形的 外接圆以内。

3.若是在，修正对角线即将对角线对调，即完成局部优化过程的处理。

LOP处理过程以下图所示：

Delaunay剖分的算法

Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。

Delaunay三角剖分算法准则特性

 准则:

要知足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则：

一、空圆特性：Delaunay 三角网是惟一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。以下图所示：

二、最大化最小角特性：在 散点集可能造成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所造成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。具体的说是指在两个相邻的三角形构成 凸四边形的对角线，在 相互交换后，六个内角的最小角再也不增大。以下图所示：

特性:

如下是Delaunay剖分所具有的优异特性：

1.最接近：以最近的三点造成三角形，且各 线段(三角形的边)皆不相交。

2.惟一性：不论从区域何处开始构建，最终都将获得一致的结果。

3.最优性：任意两个相邻三角形造成的 凸四边形的对角线若是能够互换的话，那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。

4.最规则：若是将 三角网中的每一个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列获得的数值最大。

5.区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。

6.具备 凸多边形的外壳：三角网最外层的边界造成一个凸多边形的外壳。 

Delaunay三角剖分算法计算方法

 

a)Lawson算法

逐点插入的Lawson算法 ^[3]  是Lawson在1977年提出的，该算法思路简单，易于编程实现。基本原理为：首先创建一个大的三角形或多边形，把全部数据点包围起来，向其中插入一点，该点与包含它的三角形三个顶点相连，造成三个新的三角形，而后逐个对它们进行空外接圆检测，同时用Lawson设计的局部优化过程LOP进行优化，即经过交换对角线的方法来保证所造成的 三角网为Delaunay三角网。

上述基于 散点的构网算法理论严密、惟一性好，网格知足空圆特性，较为理想。由其逐点插入的构网过程可知，遇到非Delaunay边时，经过删除调整，能够构造造成新的Delaunay边。在完成构网后，增长新点时，无需对全部的点进行从新构网，只需对新点的影响三角形范围进行局部联网，且局部联网的方法简单易行。一样，点的删除、移动也可快速动态地进行。但在实际应用当中，这种构网算法当点集较大时构网速度也较慢，若是点集范围是非凸区域或者存在内环，则会产生非法三角形。

 

如左图所示：当离散点集构成圆环时，Lawson算法产生的非法三角形 　　 　

离散点集合

Lawson算法产生的三角剖分

　　

正确的三角剖分

b)Bowyer-Watson算法(推荐)

Watson算法的基本步骤是：

一、构造一个超级三角形，包含全部散点，放入三角形链表。

二、将点集中的散点依次插入，在三角形链表中找出外接圆包含插入点的三角形（称为该点的影响三角形），删除影响三角形的公共边，将插入点同影响三角形的所有顶点链接起来，完成一个点在Delaunay三角形链表中的插入。

三、根据优化准则对局部新造成的三角形优化。将造成的三角形放入Delaunay三角形链表。

四、循环执行上述第2步，直到全部散点插入完毕。

这一算法的关键的第2步图示以下：