LeetCode 刷题笔记 - 322. 零钱兑换

难度：

中等

描述：

给定不一样面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算能够凑成总金额所需的最少的硬币个数。若是没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例：

1:
输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3 
解释: 11 = 5 + 5 + 1
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2:
输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
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说明: 你能够认为每种硬币的数量是无限的。

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语言：

swift

解析：

这是一道比较基础的关于动态规划的题。那咱们就按着动态规划的标准解题步骤来一步一步解答。
咱们须要拆分子问题，找到状态转移方程。
首先拆分子问题：

1. 如何用最少的 coins 凑够 0 元？
2. 如何用最少的 coins 凑够 1 元？
3. 如何用最少的 coins 凑够 2 元？
4. ...
5. 如何用最少的 coins 凑够 n 元？
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咱们分别解决这些子问题，咱们用d(i) = j来表示，凑够i元最少须要j个硬币：

1. 如何用最少的 coins 凑够 0 元？
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对于该状况，显然是须要0枚硬币就能凑够0元，故：

d(0) = 0
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2. 如何用最少的 coins 凑够 1 元？
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为了凑够1元，咱们须要1枚1元的硬币，同时咱们要和上一个问题想想有没有什么关联？为了解决子问题2，就等于先解决了子问题1，在解决了子问题1的基础解决了子问题2。

d(1) = d(1 - 1) + 1 = d(0) + 1 = 0 + 1 = 1
// d(1) 表明为了凑够 1 元
// d(1 - 1) + 1 表明为了解决这个问题，咱们须要解决凑够 0 元状况下的结果，再加上凑够 1 元须要的一块的这一种结果
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3. 如何用最少的 coins 凑够 2 元？
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为了求出最少凑够2元，咱们一样能够得出：解决问题2，凑够1元的状况下，再凑够1元：

d(2) = d(2 - 1) + 1 = d(1) + 1 = 1 + 1 = 2
// d(2) 表明为了凑够 2 元
// d (2 - 1) + 1 表明为了解决这个问题，咱们须要解决凑够 1 元的状况下，再加上凑够剩下的 1 元
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可是题目上，咱们不只有1元的硬币，还有2元的硬币，这个时候，咱们仅须要一枚2元的硬币就能够凑够2元，也就是：凑够 2 元 = 凑够 0 元 + 凑够 2 元

d(2) = d(2 - 2) + 1 = d (0) + 1 = 0 + 1 = 1
// d(2) 表明为了凑够 2 元
// d(2 - 2) + 1 表明能够将凑够二元分解为，先凑够 0 元，再用 1 个 2 元的硬币来凑够 2 元
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其实在这个时候，d(2) = 1，能够将上面的两个方程简化一下为：
d(2) = min{d(2 - 1) + 1, d(2 - 2) + 1}
那么咱们就能够抽象成如下状态转移方程：
d(n) = min{d(n - c) + 1}
意思为，为了凑够 n 元，咱们须要找到不一样的面值 c 下的最优解。
因此为了凑够 11 元，本题来讲，咱们须要以下状态方程：

d(11) = min{d(11 - 1) + 1, d(11 - 2) + 1, d(11 - 5) + 1}
      = min{d(10) + 1, d(9) + 1, d(6) + 1}
d(10) = ...
d(9) = ...
d(6) = ...
...
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编程的话，也就是须要将状态转移方程表达出来。咱们须要一个dict来存储凑够不一样价格时候的最优解。能够循环的条件为amount - coin >= 0，举例为若是硬币只有10元面值，而须要凑够5元，这时候5 - 10 < 0，不知足条件。

代码以下：

class Solution {
    func coinChange(_ coins: [Int], _ amount: Int) -> Int {
        if amount == 0 {
            return 0
        }
        var dict = [Int : Int]()
        dict[0] = 0
        for index in 1...amount {
            var minLength = -1
            for coinsIndex in 0...coins.count - 1 {
                let previousValue = index - coins[coinsIndex]
                if previousValue >= 0 {
                    if (dict[previousValue] != nil) && dict[previousValue]! != -1 {
                        if minLength == -1 {
                            minLength = dict[previousValue]! + 1
                        } else {
                            minLength = min(minLength, dict[previousValue]! + 1)
                        }
                    }
                }
            }
            dict[index] = minLength
        }
        return dict[amount]!
    }
}
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总结

动态规划颇有趣，须要好好研究一下。