有趣的 zkw 线段树（超全详解）

时间  2019-11-17
标签 有趣 zkw 线段 详解 繁體版
原文   原文链接

zkw segment-tree 真是太棒了（真的重口味）！写篇博客记念入门node

 

emmm...首先咱们来介绍一下 zkw 线段树这个东西（俗称 "重口味" ，与 KMP 相似，咳咳...）ios



zkw 线段树的介绍

其实 zkw 线段树和普通线段树区别没多大（区别可大了去了！）git

emmm...起码它们的思想是一致的，都是节点维护区间信息嘛。数组

只不过...普通线段树的维护和查询是递归式，而 zkw线段树是循环式的...ide

可是不要觉得 zkw线段树只是靠循环加速上位的！ui

zkw线段树能支持很是多强（luan）如（qi）闪（ba）电（zao）的操做（最后例题讲）。lua

 

 

 

 zkw 线段树 与普通线段树 的比较

 

emmm...这里你看着 普通线段树 的节点比 zkw线段树 的小对吧，但其实二者差很少，（由于线段树是要开4倍空间的啊，这里只是没有画出用不到的节点罢了），spa

 

 

zkw 线段树的形态

其实上图...仍是没法体现zkw 线段树的具体形态的，（可是相信聪明的你必定看懂了因此我就不讲了）.net

emmm...因而乎仍是上图解释一切3d

 

 

zkw 线段树的创建

 

首先你要写个循环，让 m 这个值（也就是非叶子节点）大于 n （也就是总叶子结点数），以此保证 这棵树的叶子 可以容纳你要维护的 n 个值

而后你要从 m 倒推 到 1 号节点（注意是 m 倒推回 1 ，保证维护每一个节点时该节点的孩子都已经被维护完毕），让每一个节点维护它左右孩子的信息。

 

 

代码实现

这里咱们假设要维护的信息有：区间和，区间最小值，区间最大值 。 下同

inline void build(int n){
//  维护这么多信息都只须要这么几行，可见维护信息单一时代码应该会短的不像话（压行过的话大概三四行）
    for(m=1;m<=n;m<<=1);
    for(int i=m+1;i<=m+n;++i)
        sum[i]=mn[i]=mx[i]=read();
    for(int i=m-1;i;--i)
        sum[i]=a[i<<1]+a[i<<1|1],
        mn[i]=min(mn[i<<1],mn[i<<1|1]),
        mx[i]=max(mx[i<<1],mx[i<<1|1]);
}


可是，这里对 mn 和 mx 的处理是在无修改操做的基础上实行的，因此这样写并不支持修改操做。

 

那么咱们能够这样写：

inline void build(){
    for(m=1;m<=n;m<<=1);
    for(int i=m+1;i<=m+n;++i)
        sum[i]=mn[i]=mx[i]=read();
    for(int i=m-1;i;--i){
        sum[i]=sum[i<<1]+sum[i<<1|1];
        
        mn[i]=min(mn[i<<1],mn[i<<1|1]),
        mn[i<<1]-=mn[i],mn[i<<1|1]-=mn[i];
        
        mx[i]=max(mx[i<<1],mx[i<<1|1]),
        mx[i<<1]-=mx[i],mx[i<<1|1]-=mx[i];
    }
}

PS：如下的操做（单点、区间更新，单点、区间查询）所附的代码，都基于可修改的版本

 

 

zkw 线段树的更新

单点更新

这个单点更新仍是比较好解决的，你只要找到更新的节点所在的叶子结点，而后修改后一直向父节点更新便可。

（这个。。。就不用上图了吧...你脑补一下就差很少了）

 

代码实现

这里咱们假设将一个节点的值增长 v （修改的话...就记录一下原数组，而后算差值就行了吧？）

inline void update_node(int x,int v,int A=0){
    x+=m,mx[x]+=v,mn[x]+=v;for(;x>1;x>>=1){
        sum[x]+=v;
        A=min(mn[x],mn[x^1]);
        mn[x]-=A,mn[x^1]-=A,mn[x>>1]+=A;
        A=max(mx[x],mx[x^1]),
        mx[x]-=A,mx[x^1]-=A,mx[x>>1]+=A;
    }
}

 

 

 

区间更新

这个东西...有点麻烦（你得稍微感性理解）。

就是说...你每次要更新一段区间的时候，你要让左端点 -1 ，右端点 +1 。

而后你在更新权值的时候要判断 左端点当前所处的节点是不是它父节点的左孩子，

是的话就让该节点的兄弟（也就是它父节点的右孩子）获得更新，不然不作处理，

而后左节点再向右移一位（也就是跳到了父节点），重复迭代以上步骤。

那么右端点呢？其实也就是和左端点反着来了而已。

还有一点，循环的终止条件？这个简单，就是当左右端点所处的节点是兄弟节点的时候结束循环。

相似的，你更新一个节点时 一样能够用这种方法维护（只不过这样就更麻烦了啊）。

这样咱们能够看到要被更新的区间都已经被染成黄色了。可是，zkw 没有下传标记啊！

那么咱们查询的区间若是在染成黄色的节点的下部（也就是黄色节点的子树内）该怎么办？

咱们能够这样...这样...没错！标记永久化！

由于咱们已经将一个节点的标记永久化了，那么在该节点被访问到的时候，只要将当前查询到的、包含在该节点所管辖区间范围内的  区间长度乘上标记值，累加入答案便可。

（具体实现得看代码）

 

 

区间更新的特殊状况

 

同窗们有没有注意到一种区间查询的特殊状况？没错，就是右区间+1后到达下一层的特殊状况

就以上图为例，假设维护区间为 1 ~ 7 ，如今对 2 ~ 7 进行区间加操做，那么  t = 7+1 = 8 ，因而 t 就到达了不存在的第 5 层！

如今你想的必定是这种状况该怎么避免这种状况（其实很简单，你在建树肯定 m 的值的时候，将判断条件改为 " m<=n+1 " 就好了）

但我如今要证实这种状况不须要避免也不会出问题（基本上...吧？）

 

 

 

咱们能够看到，s 和 t 在跳到 0 和 1 时知足了终止条件，而且须要更新的节点都获得了更新，并且，其实 t 就没有更新过节点...

 

 

代码实现

这里咱们假设要将一段区间的每一个数加上 v ，而后维护的信息同上

inline void update_part(int s,int t,int v){
    int A=0,lc=0,rc=0,len=1; 
    for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){ //在这里的 add 就是标记数组了
        if(s&1^1) add[s^1]+=v,lc+=len, mn[s^1]+=v,mx[s^1]+=v;
        if(t&1)    add[t^1]+=v,rc+=len, mn[t^1]+=v,mx[t^1]+=v;
        
        sum[s>>1]+=v*lc, sum[t>>1]+=v*rc;
        
        A=min(mn[s],mn[s^1]),mn[s]-=A,mn[s^1]-=A,mn[s>>1]+=A,
        A=min(mn[t],mn[t^1]),mn[t]-=A,mn[t^1]-=A,mn[t>>1]+=A;
        
        A=max(mx[s],mx[s^1]),mx[s]-=A,mx[s^1]-=A,mx[s>>1]+=A,
        A=max(mx[t],mx[t^1]),mx[t]-=A,mx[t^1]-=A,mx[t>>1]+=A;
    }
    for(lc+=rc;s>1;s>>=1){
        sum[s>>1]+=v*lc;
        A=min(mn[s],mn[s^1]),mn[s]-=A,mn[s^1]-=A,mn[s>>1]+=A,
        A=max(mx[s],mx[s^1]),mx[s]-=A,mx[s^1]-=A,mx[s>>1]+=A;
    }
}

这里的 lc 和 rc 的所表明的含义须要讲一下

lc 表明左端点所处的节点下有多少长度的区间在更新区间内, rc 同理 ，通俗一点地说，就是 s 和 t 所分别走过的节点中包含的更新过的区间的总长

 

 

 

 

zkw线段树的查询

 

单点查询

这个没什么好说的吧，你从叶子结点一直跳父节点，把途中节点的 mn （或者 mx ）权值累加，最后获得的就是答案

 

代码实现

inline int query_node(int x,int ans=0){
    for(x+=m;x;x>>=1) ans+=mn[s];
    return ans;
}

 

 

 

区间查询

什么？zkw线段树的区间查询？我不会啊。     

那么这里的区间查询...其实有点难说啊！要不就直接上代码得了？咳咳...

这个其实和上面的区间更新的思路差很少，可能要讲的就是标记累加的问题了吧。

那么 lc 和 rc 以前已经讲过了，就是 s 节点和 t 节点分别走过的节点中所包含的更新区间的长度。

那么 add 这个数组啊...啊...啊...这个数组啊，它...要不咱们直接看代码吧？

它好在哪里啊？好难说啊...其实它就是记录了你每次大块累加区间时的副产品啊，相似于线段树的懒标记。

可是和普通线段树不同的是，线段树的查询是自上而下查询（顺便释放标记）而后又自下而上的递归回去的，

而 zkw 的查询是直接自下而上的，因而它没法释放标记，因而它就在遇到某个打过懒标记的节点时，将当前查询到的区间长度乘上标记值，累加入答案。

（因此这仍是懒标记啊！不上图了自行脑补。emmm...算了吧那仍是上一张图好了）

 

代码实现

inline int query_sum(int s,int t){
    int lc=0,rc=0,len=1,ans=0;
    for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){
        if(s&1^1) ans+=sum[s^1]+len*add[s^1],lc+=len;
        if(t&1) ans+=sum[t^1]+len*add[t^1],rc+=len;
        
        if(add[s>>1]) ans+=add[s>>1]*lc;
        if(add[t>>1]) ans+=add[t>>1]*rc; 
    }
    for(lc+=rc,s>>=1;s;s>>=1)
        if(add[s]) ans+=add[s]*lc;
    return ans;
}

inline int query_min(int s,int t,int L=0,int R=0,int ans=0){
    if(s==t) return query_node(s);  // 单点要特判, 下同
    for(s+=m,t+=m;s^t^1;s>>=1,t>>=1){ // 这里 s 和 t 直接加上 m
        L+=mn[s],R+=mn[t];
        if(s&1^1) L=min(L,mn[s^1]);
        if(t&1) R=min(R,mn[t^1]);
    }
    for(ans=min(L,R),s>>=1;s;s>>=1) ans+=mn[s];
    return ans;
}

inline int query_max(int s,int t,int L=0,int R=0,int ans=0){
    if(s==t) return query_node(s);
    for(s+=m,t+=m;s^t^1;s>>=1,t>>=1){
        L+=mx[s],R+=mx[t];
        if(s&1^1) L=max(L,mx[s^1]);
        if(t&1) R=max(R,mx[t^1]);
    }
    for(ans=max(L,R),s>>=1;s;s>>=1) ans+=mx[s];
    return ans;
}

这里询问时 s 和 t 不能 -1 或 +1 ，否则会查询到旁边不相干的节点。

而后 s == t 的状况要特判一下，防止 s 和 t 一直都不是兄弟，陷入死循环。

 

 

 

zkw 的代码实现（模板）

 

彻底代码

 

  1 //by Judge
  2 #include<cstdio>
  3 #include<iostream>
  4 using namespace std;
  5 const int M=1e5+111;
  6 //#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
  7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
  8 inline int read(){
  9     int x=0,f=1; char c=getchar();
 10     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
 11     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
 12 }
 13 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
 14 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
 15 inline void print(int x){
 16     if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
 17     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
 18     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
 19 }
 20 int n,m,q;
 21 int sum[M<<2],mn[M<<2],mx[M<<2],add[M<<2];
 22 inline void build(){
 23     for(m=1;m<=n;m<<=1);
 24     for(int i=m+1;i<=m+n;++i)
 25         sum[i]=mn[i]=mx[i]=read();
 26     for(int i=m-1;i;--i){
 27         sum[i]=sum[i<<1]+sum[i<<1|1];
 28         mn[i]=min(mn[i<<1],mn[i<<1|1]),
 29         mn[i<<1]-=mn[i],mn[i<<1|1]-=mn[i];
 30         mx[i]=max(mx[i<<1],mx[i<<1|1]),
 31         mx[i<<1]-=mx[i],mx[i<<1|1]-=mx[i];
 32     }
 33 }
 34 inline void update_node(int x,int v,int A=0){
 35     x+=m,mx[x]+=v,mn[x]+=v,sum[x]+=v;
 36     for(;x>1;x>>=1){
 37         sum[x]+=v;
 38         A=min(mn[x],mn[x^1]);
 39         mn[x]-=A,mn[x^1]-=A,mn[x>>1]+=A;
 40         A=max(mx[x],mx[x^1]),
 41         mx[x]-=A,mx[x^1]-=A,mx[x>>1]+=A;
 42     }
 43 }
 44 inline void update_part(int s,int t,int v){
 45     int A=0,lc=0,rc=0,len=1;
 46     for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){
 47         if(s&1^1) add[s^1]+=v,lc+=len, mn[s^1]+=v,mx[s^1]+=v;
 48         if(t&1)    add[t^1]+=v,rc+=len, mn[t^1]+=v,mx[t^1]+=v;
 49         sum[s>>1]+=v*lc, sum[t>>1]+=v*rc;
 50         A=min(mn[s],mn[s^1]),mn[s]-=A,mn[s^1]-=A,mn[s>>1]+=A,
 51         A=min(mn[t],mn[t^1]),mn[t]-=A,mn[t^1]-=A,mn[t>>1]+=A;
 52         A=max(mx[s],mx[s^1]),mx[s]-=A,mx[s^1]-=A,mx[s>>1]+=A,
 53         A=max(mx[t],mx[t^1]),mx[t]-=A,mx[t^1]-=A,mx[t>>1]+=A;
 54     }
 55     for(lc+=rc;s;s>>=1){
 56         sum[s>>1]+=v*lc;
 57         A=min(mn[s],mn[s^1]),mn[s]-=A,mn[s^1]-=A,mn[s>>1]+=A,
 58         A=max(mx[s],mx[s^1]),mx[s]-=A,mx[s^1]-=A,mx[s>>1]+=A;
 59     }
 60 }
 61 inline int query_node(int x,int ans=0){
 62     for(x+=m;x;x>>=1) ans+=mn[x]; return ans;
 63 }
 64 inline int query_sum(int s,int t){
 65     int lc=0,rc=0,len=1,ans=0;
 66     for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){
 67         if(s&1^1) ans+=sum[s^1]+len*add[s^1],lc+=len;
 68         if(t&1) ans+=sum[t^1]+len*add[t^1],rc+=len;
 69         if(add[s>>1]) ans+=add[s>>1]*lc;
 70         if(add[t>>1]) ans+=add[t>>1]*rc; 
 71     }
 72     for(lc+=rc,s>>=1;s;s>>=1) if(add[s]) ans+=add[s]*lc;
 73     return ans;
 74 }
 75 inline int query_min(int s,int t,int L=0,int R=0,int ans=0){
 76     if(s==t) return query_node(s);
 77     for(s+=m,t+=m;s^t^1;s>>=1,t>>=1){
 78         L+=mn[s],R+=mn[t];
 79         if(s&1^1) L=min(L,mn[s^1]);
 80         if(t&1) R=min(R,mn[t^1]);
 81     }
 82     for(ans=min(L,R),s>>=1;s;s>>=1) ans+=mn[s];
 83     return ans;
 84 }
 85 inline int query_max(int s,int t,int L=0,int R=0,int ans=0){
 86     if(s==t) return query_node(s);
 87     for(s+=m,t+=m;s^t^1;s>>=1,t>>=1){
 88         L+=mx[s],R+=mx[t];
 89         if(s&1^1) L=max(L,mx[s^1]);
 90         if(t&1) R=max(R,mx[t^1]);
 91     }
 92     for(ans=max(L,R),s>>=1;s;s>>=1) ans+=mx[s];
 93     return ans;
 94 }
 95 
 96 signed main(){
 97     
 98     
 99     
100     
101     
102     return 0;
103 }
View Code

 

 

 

板子题？这个真没有...（不过你能够拿普通线段树的板子题等练手）

默默放上线段树板子题的连接... 

　　1. 线段树 1 

　　2. 线段树 2

代码

1.

 1 //by Judge
 2 #include<cstdio>
 3 #include<iostream>
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 const int M=1e5+111;
 7 //#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 8 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
 9 inline ll read(){
10     ll x=0,f=1; char c=getchar();
11     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
12     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
13 }
14 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
15 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
16 inline void print(ll x){
17     if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
18     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
19     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
20 }
21 ll n,m,q;
22 ll sum[M<<2],add[M<<2];
23 inline void build(){
24     for(m=1;m<=n;m<<=1);
25     for(int i=m+1;i<=m+n;++i) sum[i]=read();
26     for(int i=m-1;i;--i) sum[i]=sum[i<<1]+sum[i<<1|1];
27 }
28 inline void update_part(int s,int t,ll v){
29     ll A=0,lc=0,rc=0,len=1;
30     for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){
31         if(s&1^1) add[s^1]+=v,lc+=len;
32         if(t&1)    add[t^1]+=v,rc+=len;
33         sum[s>>1]+=v*lc,sum[t>>1]+=v*rc;
34     } for(lc+=rc,s>>=1;s;s>>=1) sum[s]+=v*lc; 
35 }
36 inline ll query_sum(int s,int t){
37     ll lc=0,rc=0,len=1,ans=0;
38     for(s+=m-1,t+=m+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,len<<=1){
39         if(s&1^1) ans+=sum[s^1]+len*add[s^1],lc+=len;
40         if(t&1) ans+=sum[t^1]+len*add[t^1],rc+=len;
41         if(add[s>>1]) ans+=add[s>>1]*lc;
42         if(add[t>>1]) ans+=add[t>>1]*rc; 
43     } for(lc+=rc,s>>=1;s;s>>=1) if(add[s]) ans+=add[s]*lc;
44     return ans;
45 }
46 signed main(){
47     n=read(),q=read(),build();
48     int opt,x,y; ll k;
49     while(q--){
50         opt=read(),x=read(),y=read();
51         if(opt&1) k=read(),update_part(x,y,k);
52         else print(query_sum(x,y));
53     } Ot(); return 0;
54 }
View Code

 

2.

emmm...实在是太晚啦（实际上是没有研究过区间乘），因此就...您就自个儿研究吧~~~

 

 

推荐例题

 

题目：  无聊的数列

 

其实这道题用普通线段树 + 懒标记也能够作 （你能够试试？）

可是用了 zkw 以后...那个代码量的差异，我都不想说什么...（诶？貌似普通线段树用了标记永久化以后差很少也是这个码量？）

 

代码

 1 //by Judge
 2 #include<cstdio>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 const int M=1<<20;
 6 int n,m,q,opt,L,R,k,d;
 7 int a[M],lt[M],dt[M];
 8 //#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 9 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
10 inline int read(){
11     int x=0,f=1; char c=getchar();
12     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
13     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
14 }
15 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
16 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
17 inline void print(int x){
18     if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
19     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
20     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n'; Ot();
21 }
22 inline void build(){
23     for(int i=m;i;--i) lt[i]=lt[i<<1];
24 }
25 inline void update(int L,int R,int k,int d){ //update 仍是蛮常规的
26     for(int l=L+m-1,r=R+m+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1){
27         if(l&1^1) a[l^1]+=k+(lt[l^1]-L)*d,dt[l^1]+=d;
28         if(r&1) a[r^1]+=k+(lt[r^1]-L)*d,dt[r^1]+=d;
29     }
30 }
31 inline int query(int p,int res){ //query 感性理解一下：非叶子节点存储的是附加值，也就是操做 1 当中加入的等差数列
32     for(int i=m+p;i;i>>=1) res+=a[i]+(p-lt[i])*dt[i];
33     return res;
34 }
35 int main(){
36     n=read(),q=read(); for(m=1;m<=n;m<<=1); printf("%d\n",m);
37     for(int i=1;i<=n;++i) a[m+i]=read(),lt[m+i]=i;
38     build();
39     while(q--){
40         opt=read();
41         if(opt&1) L=read(),R=read(),k=read(),d=read(),update(L,R,k,d);
42         else k=read(),print(query(k,0));
43     } Ot(); return 0;
44 }
View Code

 

 

 

 

 

 

最后推荐一下：  某位大佬的 blog （写的也蛮详细的但没我详细，emmm...可是他那片博客里的区间求最值是错的，坑！）

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