数据结构与算法分析 - 网络流入门（Network Flow）
转载：网络流基础篇——Edmond-Karp算法 BY纳米黑客css
网络流的相关定义：html
- 源点：有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫作源点。
- 汇点：另外一个点也很特殊，只进不出，叫作汇点。
- 容量和流量：每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量一般用c[i,j]表示,流量则一般是f[i,j].
一般能够把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，流量<=容量。而对于每一个不是源点和汇点的点来讲，能够类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，全部“进入”他们的流量和等于全部从他自己“出去”的流量。 算法
- 最大流：把源点比做工厂的话，问题就是求从工厂最大能够发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。
求解思路：数组
首先，假如全部边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。网络
一个最简单的例子就是，零流，即全部的流量都是0的流。spa
- (1).咱们就从这个零流开始考虑，假若有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，而且，这条路上的每一段都知足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。
- (2).那么，咱们必定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。咱们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，必定能够保证这个流依然是可行流，这是显然的。
- (3).这样咱们就获得了一个更大的流，他的流量是以前的流量+delta，而这条路就叫作增广路。咱们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。
- (4).当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论很是重要。
补充：code
- (1).寻找增广路的时候咱们能够简单的从源点开始作BFS，并不断修改这条路上的delta 量，直到找到源点或者找不到增广路。
- (2).在程序实现的时候，咱们一般只是用一个c 数组来记录容量，而不记录流量，当流量+delta 的时候，咱们能够经过容量-delta 来实现，以方便程序的实现。
相关问题：htm
为何要增长反向边？blog
在作增广路时可能会阻塞后面的增广路，或者说，作增广路原本是有个顺序才能找完最大流的。rem
但咱们是任意找的，为了修正，就每次将流量加在了反向弧上，让后面的流可以进行自我调整。
举例：
好比说下面这个网络流模型
咱们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。
因而咱们修改后获得了下面这个流。（图中的数字是容量）
这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，咱们再也找不到其余的增广路了，当前的流量是1。
可是，
这个答案明显不是最大流，由于咱们能够同时走1-2-4和1-3-4，这样能够获得流量为2的流。
那么咱们刚刚的算法问题在哪里呢？
问题就在于咱们没有给程序一个“后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。
那么如何解决这个问题呢？
咱们利用一个叫作反向边的概念来解决这个问题。即每条边(i,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也一样有它的容量。
咱们直接来看它是如何解决的：
在第一次找到增广路以后，在把路上每一段的容量减小delta的同时，也把每一段上的反方向的容量增长delta。
c[x,y]-=delta;c[y,x]+=delta;
咱们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路以后，把容量修改为以下：
这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广以后，获得了最大流2。
那么，这么作为何会是对的呢？
事实上，当咱们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就至关于把2-3这条正向边已是用了的流量给“退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其余的路也就是2-4。
若是这里没有2-4怎么办？
这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，由于他根本不能走到汇点
同时原本在3-4上的流量由1-3-4这条路来“接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流。
附录：(edmonds-Karp版本)
1: void update_residual_network(int u,int flow){2: while(pre[u]!=-1){3: map[pre[u]][u]-=flow;4: map[u][pre[u]]+=flow;5: u=pre[u];6: }7: }8: int find_path_bfs(int s,int t){9: memset(visited,0,sizeof(visited));10: memset(pre,-1,sizeof(pre));11: visited[s]=1;12: int min=INF;13: queue<int> q;14: q.push(s);15:16: while(!q.empty()){17: int cur=q.front();q.pop();18: if(cur==t) break;19:20: for(int i = 1 ; i <= m ; i++ ){21: if( visited[i] == 0 && map[cur][i] != 0){22: q.push(i);23: min=(min<map[cur][i]?min:map[cur][i]) ;24: pre[i]=cur;25: visited[i]=1;26: }27: }28: }29: if(pre[t]==-1) return 0;30:31: return min;32: }33: int edmonds_karp(int s,int t){34: int new_flow=0;35: int max_flow=0;36: do{37: new_flow = find_path_bfs(s,t);38: update_residual_network(t,new_flow);39: max_flow += new_flow;40: }while( new_flow != 0 );41: return max_flow;42: }