博弈论总结（只会打表，永不证实）（博弈论）

概述

博弈论的研究对象是一类游戏，有特定的模型。

基础模型——先手必胜仍是后手必胜？

好像有个专门的名词叫作Impartial Combinatorial Games（简称ICG）

大概的定义以下：

整个游戏能够抽象成一个DAG；

每一个点都表明游戏过程当中的某个决策状态（特殊的，出度为0的点是游戏的终止状态）；

每条边都表示能够从某个状态，通过直接的一次操做，转移到另外一个状态。

有两个玩家，从指定的某个状态开始，依次执行操做，谁先由于当前到达了终止状态而没法操做的人输。

由于是DAG，因此必定会转移到终止状态的。

问题就是，从某状态开始，先手必胜仍是后手必胜？

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举个栗子——Nim游戏的一个变种

有一堆$n$个石子，每次能够取$1-k$个，当前没法操做的人输，问是否先手存在必胜策略？

对于这种问题，对于以每一个状态为起点的状况，咱们都会惟一肯定是先手必胜仍是后手必胜。

这应该是很好想，几乎不用证实的。

能够对每一个点标记两种状态N和P，分别表示先手必胜和后手必胜

首先根据定义，终状态为P

而后，全部能直接到达终状态的状态就为N了

进一步推广，若是某点的出边指向的点的集合中，有至少一个点为P，那么这个点为N；不然就为P。

好比对于上面提到的栗子

对每一个状态都标号为当前剩余石子数

那么$0$是P，$1-k$就都是N，$k+1$是P。。。。。。

接着就能够推出当且仅当$(k+1)\mid a$时a是P。

对于这种基础的问题，枚举状态建好图后DP或者记忆化搜索就能够快速解决了。

模型升级——SG函数与SG定理

博弈论所涉及到的更多的游戏，会把若干ICG拼凑在一块儿，成为一个规模更大的模型。

好比说上面那个Nim游戏变种的升级版——

有$n$堆石子，每堆$a_i$个，每次能够取$1-k$个，当前没法操做的人输，问是否先手存在必胜策略？

这时候，若是仍沿用上面的方法求解，咱们会发现状态维度很大，时间和空间根本承受不了。

这里介绍SG函数与SG定理，详细证实就算了，我太弱了。

strangedbly巨佬的博客给出了十分易懂的证实，我的力荐。

定义运算$mex(S)$（S是一个天然数集合），结果为S中未出现的最小天然数。

定义$SG(i)$（i是一个状态，在图中是一个点）为对全部$i$可直达状态（在图中与i经过有向边链接的全部点）的SG函数值取mex的值，即。

$$SG(i)=mex({j\mid SG(j),(i,j)\in G})$$

定义SG定理：点$i$为P当且仅当$SG(i)=0$

若干ICG（能够不相同）组合在一块儿的游戏，把每一个游戏的SG值异或起来，不为0则先手必胜。

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接着对例子分析一下。

能够发现，对于单堆石子来讲，剩零个时$SG$值为$0$，剩一个时为$1$。。。剩$k$个为$k$，剩$k+1$个时由于不能转移到零个，$SG$值又变成了$0$。。。。。。

这能够说明SG函数对于判断状态为N仍是P是很是有效的。

那么对于若干堆石子（即整个升级版游戏）来讲，胜负又会如何呢？只要把这若干个$SG$值都异或起来就彻底OK啦。

#实现

简单的ICG可直接经过递推、DP等方法推导出全部点的状态。固然，若是找到规律，能够直接$O(1)$判断都说很差。

多个ICG的组合游戏，则必定是离不开SG函数的。

但假如点很是多，或者每一个点的后继肯定起来很是麻烦的时候，DP是不能解决问题的。

那怎么办？那确定是有规律啊！一眼看不出规律怎么办？可别忘了打表啊！

固然，打表也是有技巧的。至于如何如何，蒟蒻也说不出什么门道来，仍是多刷题为上上策。

#题目

• 【Done】洛谷P2197 nim游戏
• 【Sol.】洛谷P2148 [SDOI2009]E&D
• 【Todo】洛谷P2575 高手过招
• 【Todo】洛谷P2594 [ZJOI2009]染色游戏
• 【Todo】洛谷P3185 [HNOI2007]分裂游戏