量子纠缠1——量子比特、Bell态、EPR佯谬

量子纠缠是量子物理的基本性质，他描述的是：当几个粒子相互做用后，没法单独描述各个粒子的性质，只能总体描述，本文主要介绍两个量子比特之间的纠缠。

量子比特（Qubit）

量子比特是量子计算的基本单位，就像经典比特是经典计算的基本单位同样。

可是不一样的是，经典比特是肯定的，他能够是0，也能够是1，可是必定是肯定的0或者1，而量子比特则多是 $| 0\rangle $ ，多是 $| 1\rangle $ ，也多是 \(\alpha_0\) 的平方几率的 $| 0\rangle $ 加上 \(\alpha_1\) 的平方几率的 $| 1\rangle $ ，即所谓的叠加态，用数学来描述以下： \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) （ $\alpha_0 $ 和 $\alpha_1 $ 是复数， \(\alpha_0 ^2+\alpha_1 ^2=1\) ）。在此忽然提到的 \(| 0\rangle\) 是狄拉克符号，目前就把它看成是0、1就好。

叠加态是一种存在，可是不能观测的态。在你没有观测的时候，粒子多是 \(| 0\rangle\) 也多是 \(| 1\rangle\) ，可是当你观测了，他就会以 \(\alpha_0\) 的平方几率肯定本身在 \(| 0\rangle\) ，或者以 \(\alpha_1\) 的平方几率肯定本身在 \(| 1\rangle\) ，不管结果是什么，他会肯定一个状态，再次测量也不会变。

量子比特的物理实体

经典比特，咱们用高电平表示1，低电平表示0，那么量子比特呢？

显然，并无一种电平能够必定几率低，必定几率高，可是粒子能够，粒子能够以必定几率处于低能级又必定几率处于高能级。

以氢原子举例，当电子在基态的时候，咱们用 \(| 0\rangle\) 来描述，当电子在激发态的时候，咱们用 \(| 1\rangle\) 来描述。

固然粒子除了氢原子还有其余，那么能级也就可能不只仅是基态、激发态，将会有第一激发态、第二激发态等，这就是k-level system，咱们的表示也就是 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 、 \(| 2\rangle\) 了，不过通常，咱们都选择两个能级的，只用 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 来描述。

除了粒子，光的偏振也能用来表示量子比特，咱们将横着的光用 \(| 0\rangle\) 来描述，纵着的用 \(| 1\rangle\) 来描述。若是将一个横着的偏振片放在一束斜着45°角的光前，那么每个光波将以 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 的几率决定本身是横着，而后经过光栅，或者以 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 的几率决定本身纵着，而后被光栅拦下。从宏观上看，就是我这束光的能量经过偏振片后只有原来的 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 了，由于其余的被拦住了，经过的光，是纯粹的横着的光，若是在这以后再加上纵着的偏振片，光会所有被拦下，这也就是咱们前面说的测量后结果不会再变。

量子的几何表示

咱们将彻底处于 \(| 0\rangle\) 或 \(| 1\rangle\) 的态成为纯态，他们没有体现量子叠加的性质，和普通的经典比特没有什么区别。

一个量子比特的任意叠加态都是他纯态的线性组合，咱们用 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 来表示一个任意的叠加态，固然，几率等于一的归一性原理是要知足的， \(\alpha_0 ^2+\alpha_1 ^2=1\) 。

将 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 化简成 $ \left[ \begin{array}{}{\alpha_0} \ {\alpha_1}\end{array}\right]$ 就是咱们喜欢的线性代数表达了，这样更加的简洁。

咱们能够这么理解这个向量，由于量子态只多是 \(| 0\rangle\) 或 \(| 1\rangle\) 两种状况，因此这是一个二维的空间，而后 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 是这个空间的正交基，那么一个量子态就是这个空间的一个单位向量。

一个空间不止一组正交基。

令 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle\) ， \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle\) ， $|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 又构成了空间的另外一组基。咱们将 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 的基成为standard basis，$|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 的基称为sign basis。

两比特的量子系统

单量子比特的系统，有 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 两种可能，用 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 描述。

两量子比特的系统，有 \(| 0\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 0\rangle| 1\rangle\) 、 \(| 1\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle| 1\rangle\) 四种可能（ \(| 0\rangle\otimes| 0\rangle\) 、 \(| 0\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 0 0\rangle\) 都是同一个意思的表达，就是不一样的化简程度， \(\otimes\) 是张量积的意思），则咱们能够用 \(\alpha_{00} | 00\rangle+\alpha_{01} | 01\rangle+\alpha_{10} | 10\rangle+\alpha_{11} | 11\rangle\) 来描述， \(\alpha_{00}^2\) 是测量时落在 \(| 0 0\rangle\) 的几率，一样，他们的平方加起来的几率为1。

对于一个两量子比特的系统，若是咱们测量第一个粒子，获得 \(| 0\rangle\) ，那么第二个粒子的状态则为： \(\frac{\alpha_{00} | 0\rangle+\alpha_{01} | 1\rangle}{\sqrt{\alpha_{00} ^2+\alpha_{01}^2 }}\) (第一个粒子为一的可能就消除了，下面的分母是为了保证几率的归一性)

从另外一个角度思考，每个比特都是 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) ，那么我是否能够用 \((\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle)(\beta_0 | 0\rangle +\beta_1 | 1\rangle)\) 的乘积来描述两个比特的系统呢？

NO

不是每个两量子比特系统均可以分解成两个单量子比特系统的乘积形式。

好比，著名的Bell态： \(\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\)

对于这样的系统，你没有办法将他分红两个单独的系统来描述，咱们称这样的态为纠缠态。

假设两个量子系统A和B的联合状态为 \(\rho_{AB}\) ，单独的状态为 \(\rho_{A}\) 和 \(\rho_{B}\) ，若是能够写成如下形式 \(\rho_{\mathrm{AB}}=\sum_{\mathrm{k}} p_{k} \rho_{k}^{A} \otimes \rho_{k}^{B}\) ， \(p_k\) 加起来和为一，若是能够，则说明这个态时可分态，不然就是纠缠态。

Bell态

对于一对bell态的粒子A、B： \(\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\)

若是咱们测量A，获得的结果是 \(| 0\rangle\) ，那么B不用测量，结果也必定是 \(| 0\rangle\) ，由于这个系统内不存在第一个粒子是 \(| 0\rangle\) ，第二个粒子不是 \(| 0\rangle\) 的可能性。

同理，测量B，A的结果也随之肯定。

Bell态在standard basis和sign basis中的描述时一致的。

\[|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\]

证实很简单，将他们拆开就能够推出来了。

\[\begin{align}|\psi\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\\&=\frac{1}{\sqrt2}(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)+\frac{1}{\sqrt2}(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)\\&=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\end{align}\]

同理，也能够证实态在任意正交基下的描述：
令我新的基为 \(|u\rangle\) 和 \(|u'\rangle\) ， \(|u\rangle\) 确定能够用 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 来表示，由于 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 是基能够描述这个空间的任意向量，假设 $|u\rangle=a| 0\rangle+b| 1\rangle $ ，则 $|u'\rangle=-b| 0\rangle+a| 1\rangle $ 由于他们相互垂直。
按照上文推导，能获得如下结果：

\[|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|uu\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|u'u'\rangle\]

EPR佯谬

EPR几个字是Einstein、Podolsky、Rosen这三个大佬名字的首字母。

既然这里有大佬爱因斯坦，他老爷子确定以为本身的相对论是对的，即，消息的传播速度不能超过光速。

第二点，当时的人广泛赞同的定域性理论，即，一个物体只能被周围的力量影响。若是某一点的行动，要影响到另外一点，在中间的空间，例如场，会成为运动的中介。

将这两点结合来看，若是我有一对粒子，他们相距很远，在宇宙的两端，那么我对第一个粒子的做用，必定会隔一段时间才会影响到个人第二个粒子。

不肯定性原理

这里咱们先提一下量子里的不肯定性原理，他指的是：粒子的位置与动量不可同时被肯定，位置的不肯定性越小，则动量的不肯定性越大，反之亦然。

对于不一样的案例，他有不一样的内涵，在这里，对于一个量子比特来讲，当咱们肯定了，他在 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 这组基下测量有了具体的值，就不可能同时在 $|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 这组基下有肯定的值。

一个量子比特能够用如下两种方式来描述描述是：

\[ |\psi\rangle =\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle=\beta_0 | +\rangle +\beta_1 | -\rangle\]

咱们将 \(|\alpha_0|+|\alpha_1|\) 称为spread，记做 \(S_{\alpha}\) ，越肯定，则S越靠近1，越不肯定，则S越靠近 \(\sqrt2\) 。

不肯定性原理则是指 $S_{\alpha}S_{\beta} >=\sqrt2 $

咱们不可能同时肯定一个量子在standard basis和sign basis的值

矛盾

若是咱们有一对bell态的量子比特，则他们处于：

\[|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\]

若是咱们将这对量子放得很远，那么我在对第一个粒子测量他在standard basis的值时，对第二个粒子测量他在sign basis的值，我是否是就能够同时获得standard basis和sign basis的值了呢？

由于他们放的很远，因此他们的测量也不会当即影响另外一个的结果，影响须要时间来传播，而在传播时间内，我就能够测量获得我要的值了。

与不肯定性原理矛盾。

这也就是爱因斯坦大佬以为量子力学不完备的缘由，固然，后面证实爱因斯坦大佬错了，由于他推到结果的一个前提有问题，就是当时大多数人赞同的定域性原理，量子具备非局域性原理，一对粒子隔得再远，他们的相互影响也能够瞬间完成，咱们将这种超距做用成为量子纠缠。

一个小小的注意：

量子纠缠打破了爱因斯坦相对论中信息不能超光速传播吗？

没有。

一对相距很远的量子比特A、B，虽然不管我测量A的结果是什么，B均可以立刻知道，可是我能拿这个传递信息吗？不能，由于我也不知道我测量A的结果是什么。

参考资料：

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 2

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 3

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 4

Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete' ?