最长公共子序列

动态规划法

常常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增长。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，无论它们是否对最终解有用，把全部子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

动态规划的一个重要性质特色就是解决“子问题重叠”的场景，能够有效的避免重复计算

问题: 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不必定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所造成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对全部的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

解决方案:

• 枚举法

  这种方法是最简单，也是最容易想到的，固然时间复杂度也是龟速的，咱们能够分析一下，刚才也说过了cnblogs的子序列

  个数有27个 ，延伸一下：一个长度为N的字符串，其子序列有2N个，每一个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配，匹配一次

  须要O(N)的时间，总共也就是O(N*2N)，能够看出，时间复杂度为指数级，恐怖的使人窒息。

• 动态规划

  考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设

  A=“a0，a1，…，a_m-1”，

  B=“b0，b1，…，b_m-1”，

  并 Z=“z0，z1，…，z_k-1” 为它们的最长公共子序列。

  不难证实有如下性质：

  （1） 若是a_m-1=b_n-1，则z_k-1=a_m-1=b_n-1，且“z0，z1，…，z_k-2”是“a0，a1，…，a_m-2”和“b0，b1，…，b_n-2”的一个最长公共子序列；

  （2） 若是a_m-1!=b_n-1，则若z_k-1!=a_m-1，蕴涵“z0，z1，…，z_k-1”是“a0，a1，…，a_m-2”和“b0，b1，…，b_n-1”的一个最长公共子序列；

  （3） 若是a_m-1!=b_n-1，则若z_k-1!=b_n-1，蕴涵“z0，z1，…，z_k-1”是“a0，a1，…，a_m-1”和“b0，b1，…，b_n-2”的一个最长公共子序列。

  这样，在找A和B的公共子序列时，若有 a_m-1=b_n-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，a_m-2”和“b0，b1，…，b_m-2”的一个最长公共子序列； 若是a_m-1!=b_n-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，a_m-2”和“b0，b1，…，b_n-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，a_m-1”和“b0，b1，…，b_n-2”的一个最长公共子序列，再取二者中较长者做为A和B的最长公共子序列。

  既然是经典的题目确定是有优化空间的，而且解题方式是有固定流程的，这里咱们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。

  第一步：先计算最长公共子序列的长度。

  第二步：根据长度，而后经过回溯求出最长公共子序列。

  现有两个序列X={x1,x2,x3，...xi}，Y={y1,y2,y3，....，yi}，

  设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的LCS的长度。

  根据上面的公式其实能够发现C[i,j]一直保存着当前(Xi,Yi)的最大子序列长度。

回溯输出最长公共子序列过程：

长度的问题咱们已经解决了，此次要解决输出最长子序列的问题，

咱们采用一个标记Flag[i,j]，当

①：C[i,j]=C[i-1,j-1]+1 时 标记Flag[i,j]= 0， "left_up"; （左上方箭头）

②：C[i-1,j]>=C[i,j-1] 时 标记Flag[i,j]=1， "up"; （上箭头）

③: C[i-1,j]<C[i,j-1] 时 标记Flag[i,j]= -1，"left"; （左箭头）

算法分析：

因为每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的状况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

代码

这里的 b[][] 充当了 前文中 Flag[][]的角色

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;
    
    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;
    
    m = strlen(x);
    n = strlen(y);
    
    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);
    
    return 0;
}

参考 输入连接说明

输入连接说明