后缀表达式转中缀表达式

在学习《数据结构与算法分析》时，第3章有一个练习题，第1问要求编写程序将中缀表达式转换成后缀表达式，这个仍是容易的，由于书上已经给了详细的思路，用栈就能够了，实现方法在我另外一篇博客里有写到-中缀表达式转后缀表达式。这题最后一问是让把后缀表达式转换成中缀表达式，这个仍是有点难度的，当时是想按计算后缀表达式的方法获得中缀表达式，思路很简单，也很好实现，但这样会出现一个问题——转换结果里有多余的括号，好比会产生（（a+b）+（c+d））这样的结果，或者（a+（b*（c*d）））这样的结果，计算结果里的不少括号都是多余的，看着很不舒服，但也没想到好的解决办法，因此当时就暂时把这个问题搁置了。

在看到第4章，二叉树那一节时，书上介绍了一种将后缀表达式转换成二叉树的方法：即一次一个符号地读入表达式，若是符号是操做数，那么就创建一个单节点树并将一个指向它的指针推入栈中。若是符号是操做符，那么就从栈中弹出指向两棵树T1和T2的那两个指针（T1的先弹出）并造成一颗新的树，该树的根就是操做符，它的左右儿子分别指向T1和T2。而后将指向这颗树的指针压入栈中。书上有具体的例子，我就再也不赘述。转换完成后，咱们只要中序遍历该树，并加上相应的括号，就完成了后缀表达式到中缀表达式的转换。

树的结构和栈的结构：

struct TreeNode
{
	ElementType Element;
	Tree		Left;
	Tree		Right;
};

struct StructNode
{
	PstToNode	Next;
	PtrToNode	PtrTree;
};

后缀表达式转换为树：

Tree PostfixToTree(char *str)
{
	Tree T,Tmptree;
	Stack S;

	T = CreatTree();
	S = CreatStack();
	for (int i = 0; str[i] != '\0'; i++)
	{
		/*若是符号是操做数*/
		if (!IsSymbol(str[i]))
		{
			Tmptree = CreatTree();
			Tmptree->Element = str[i];
			Push(Tmptree, S);
		}
		/*若是符号是运算符*/
		else
		{
			Tmptree = CreatTree();
			Tmptree->Element = str[i];
			Tmptree->Right = TopAndPop(S);
			Tmptree->Left = TopAndPop(S);
			Push(Tmptree, S);
		}
	}
	T = TopAndPop(S);

	return T;
}

下面的任务就是把树转换成中缀表达式了。前面已经说过，中序遍历树便可获得中缀表达式，但获得的是错误的、不带括号的表达式，那么如何在表达式中加入括号呢？

这个问题我一开始是想从中序遍历树的程序入手，下面是我找到的两个程序，一个是递归中序遍历，一个是非递归中序遍历。

/*中序遍历二叉树-递归*/
void InOrder_R(Tree T)
{
	if (T)
	{
		InOrder_R(T->Left);		 // 遍历左子树  
		printf("%c", T->Element);// 访问结点  
		InOrder_R(T->Right);		 // 遍历右子树  
	}
}

/*中序遍历二叉树-非递归*/
void InOrder_NR(Tree T)
{
	Tree Tmptree = T;//当前访问节点
	Stack S = CreatStack();//建立一个空栈

	//直到当前节点为NULL且栈空时，循环结束
	while (!(Tmptree == NULL && IsEmpty(S)))
	{
		//若是Tmptree的左孩子不为空，则将其入栈，并置其左孩子为当前节点
		if (Tmptree->Left != NULL)
		{
			Push(Tmptree, S);
			Tmptree = Tmptree->Left;
		}
		//若是Tmptree的左孩子为空，则输出Tmptree节点，并将其右孩子设为当前节点，看起是否为空
		else
		{
			printf("%c", Tmptree->Element);
			Tmptree = Tmptree->Right;
			//若是为空，且栈不空，则将栈顶节点出栈，并输出该节点
			//同时将它的右孩子设为当前节点，继续判断，直到当前节点不空
			while (Tmptree == NULL && !IsEmpty(S))
			{
				Tmptree = TopAndPop(S);
				printf("%c", Tmptree->Element);
				Tmptree = Tmptree->Right;
			}
		}
	}
}

显然，递归的程序很是简单，简单到没法插入括号。。。

非递归的程序相对复杂，具体原理这里很少说，但要适当的插入括号的话，也是没法下手。。。

最后我干脆把这两个都删了，从新想了一个办法，整体思路使用递归实现括号的添加，具体以下：

这是中缀表达式 a+b*c+(d*e+f)*g 的二叉树形式。

以上图为例，采用递归的思想，假设咱们已经写出了一个将二叉树转换成中缀表达式的程序：

1.对于根节点“+”，咱们能够先计算出其左边分支的中缀表达式和右边分支的中缀表达式；

2.而后把左右两部分以“+”号链接起来便可；

3.依次递推，就可获得整个树的中缀表达式。

4.括号的添加方法：

（1）对于当前节点，若是其左节点是操做符，且运算优先级小于当前节点操做符，则给左子树的中缀表达式加括号；

（2）对于当前节点，若是其右节点是操做符，且运算优先级不大于当前节点操做符，则给右子树的中缀表达式加括号。

程序以下：

/*树转换为中缀表达式*/
char *TreeToInfix(Tree T)
{
	char* tep  = (char*)calloc(2, sizeof(char*));
	char* str  = (char*)calloc(100, sizeof(char*));
	char* strl = (char*)calloc(100, sizeof(char*));
	char* strr = (char*)calloc(100, sizeof(char*));
	//初始化
	strcpy(str , "\0");
	strcpy(strl, "\0");
	strcpy(strr, "\0");

	if (T)
	{
		strl = TreeToInfix(T->Left); //当前节点左子树的中缀表达式
		strr = TreeToInfix(T->Right);//当前节点右子树的中缀表达式

		if (T->Left)
		{
			//若是左节点是运算符且优先级小于当前节点，则给左子树的中缀表达式加括号
			if (IsSymbol(T->Left->Element) && ComparePri(T->Element, T->Left->Element))
				strl = Brackets(strl);
		}
		if (T->Right)
		{
			//若是右节点是运算符且优先级不大于当前节点，则给右子树的中缀表达式加括号
			if (IsSymbol(T->Right->Element) && !ComparePri(T->Right->Element, T->Element))
				strr = Brackets(strr);
		}
		//把左右两部分和当前节点链接起来
		*tep = T->Element;
		strcat(str, strl);
		strcat(str, tep);
		strcat(str, strr);
	}
	//返回以当前节点做为根节点的树转换成的中缀表达式
	return str;
}

不得不说，递归真的是赏心悦目啊！

下面是主程序中用到的几个子程序：

/*判断是否为运算符*/
int IsSymbol(char c)
{
	return c == '+' || c == '-' || c == '*' || c == '/' || c == '(' || c == ')';
}

/*计算优先级*/
int Priority(char c)
{
	switch (c)
	{
	case '*':
	case '/':return 1;
	case '+':
	case '-':return 0;
	default: return -1;
	}
}

/*比较优先级*/
int ComparePri(char x, char y)
{
	return Priority(x) > Priority(y) ? 1 : 0;
}

/*给字符串加括号*/
char *Brackets(char *str)
{
	char* s = (char*)calloc(100, sizeof(char*));
	strcpy(s, "\0");
	strcat(s, "(");
	strcat(s, str);
	strcat(s, ")");
	return s;
}

至此，全部的问题都解决了，来一波测试：

int main(void)
{
	char *ans;
	char str[100];	
	while (scanf_s("%s", str, sizeof(str)) != NULL)
	{
		ans = PostfixToInfix(str);
		printf("ans = ");
		printf("%s\n", ans);
	}
}

测试结果：

结果很完美啊有木有！

可能有的童鞋注意到了测试结果里面的第二个例子好像多了个括号，其实没错，那是为了保证运算次序的。由于若是不加括号就是（a+b）先乘c再乘（d+e）了，但从后缀表达式咱们也能看出来，真实的运算次序是c先乘（d+e），而后再和（a+b）相乘。