【题解】[SDOI2009]学校食堂

很早很早以前就以为是一个麻烦的题目也感受很简单不想写……结果今天写的时候发现以前的想法假了（因此不要口胡题目不写代码）

[SDOI2009]学校食堂

\(\text{Solution:}\)

看到 \(b[i]\leq 7\) 的数据范围先想到状压。

考虑状压一我的后面的人的打饭状况，那么能够设 \(f[i][S]\) 表示前 \(i\) 我的已经打完饭，\(i+1\to i+b[i]\) 的打饭状况是 \(S\) 的最小时间。

可是会发现一件很棘手的事情：当咱们去用 \(S\) 转移的时候，把一我的放到前面影响的不单单是 \(i\) 一个位置，更有 \(i\to pos\) 之间的全部位置。

也就是说，若是我想要把一个位置提早，那么它必须知足全部尚未打饭的人的容忍度，这个东西是单调递减的。

因此咱们能够考虑在 \(dp\) 的时候来维护一个范围，若是当前枚举的人已经超过合法范围了，那咱们就直接 \(pass.\)

继续考虑，若是咱们让一我的 \(j\) 到前面去，代价应该是什么呢？

因为这个状态的设计，咱们发现咱们没有办法得到上一次打饭的人的编号。因而，这个编号应该也做为 \(dp\) 里面的一个维度。

发现空间很大怎么办，考虑到这我的和 \(i\) 的差异不超过 \(8\) 因而咱们能够考虑用一个 “位移长度” \(k\) ，以 \(i+k\) 表明上一次打饭的人的编号。这样就解决了空间的问题。

继续考虑，发现若是这样设计状态 对于第一个位置 \(1\) 来讲，\(i\) 已经打完饭的最优解其实是不是很好肯定的。由于第一道菜不须要时间。因而咱们稍微改一下方程：

\(f[i][j][k]\) 表示前 \(i-1\) 我的全都打完饭了，当前人们的打饭状态为 \(j,\) 上一次打饭的人的编号是 \(i+k\) 的最小时间。

发现这个 \(k\) 其实是能够到 \(-8\) 的，由于能够把一个编号靠后的人拿到前面去，这样上一次打饭的人和 \(i\) 这一层就有可能差出 \(8.\)

为了解决这个问题，考虑把数组总体平移一下，加上一个 \(8\) 就好了。

那么，考虑转移：若是当前 \(i\) 已经打饭了，观察一下这个状态 显然对于 \(f[i+1][j>>1][k+7]\) 这个状态，\(f[i][j][k+8]\) 是和它等价的。

因而直接转移便可。

另外一种转移是考虑枚举一我的去打饭，这个时候咱们须要同时维护一下一个容忍度的上界，转移的时候还须要特别注意是否是第一我的。

关于初始化 \(f[1][0][7]=0\) 是指上一个打饭的人是 \(1\) 前面的一我的，且 \(0\) 后面的人都没有打饭。

转移就是：

 

\[\text{f[i][j|(1<<p)][p+8]=min\{dp[i][j][k+8]+(t[i+k] xor t[i+p])\} } \]

 

这里是异或的缘由是\(\text{a or b-a and b=a xor b}\)

最后统计答案要统计 \(n+1\) 的，由于状态设计的是 \(i-1\) 所有填满。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int dyx=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=2e3+10;
int f[MAXN][1<<9][20];
int n,t[MAXN],b[MAXN];
inline int Min(int x,int y){return x<y?x:y;}
void solve(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d%d",&t[i],&b[i]);
	memset(f,dyx,sizeof f);f[1][0][7]=0;
	for(int i=1;i<=n+1;++i)
		for(int j=0;j<(1<<8);++j)
			for(int k=-8;k<8;++k){
				if(f[i][j][k+8]!=dyx){
					if(j&1)f[i+1][j>>1][k+7]=Min(f[i+1][j>>1][i+7],f[i][j][k+8]);
					else{
						int R=dyx;
						for(int p=0;p<8;++p){
							if(j>>p&1)continue;
							if(i+p>R)break;
							R=Min(R,i+p+b[i+p]);
							f[i][j|(1<<p)][p+8]=Min(f[i][j|(1<<p)][p+8],f[i][j][k+8]+(k+i>0?(t[i+k]^t[i+p]):0));
						}
					}
				}
			}
	int ans=dyx;
	for(int i=0;i<=15;++i)ans=Min(ans,f[n+1][0][i]);
	cout<<ans<<endl;
	for(int i=1;i<=n;++i)t[i]=b[i]=0;
}
int main(){
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		solve();
	}
	return 0;
}