干货|MIT线性代数课程精细笔记[第一课]

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知识概要

本节开始，咱们一块儿来学习线性代数的有关知识，首节咱们从解方程谈起，学习线性代数的应用之一就是求解复杂方程问题，本节核心之一即为从行图像与列图像的角度解方程。

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方程组的几何解释基础

2.1 二维的行图像

咱们首先经过一个例子来从行图像角度求解方程：

咱们首先按行将方程写为矩阵形式：

系数矩阵(A)：将方程系数按行提取出来，构成一个矩阵。
未知向量(x)：将方程未知数提取出来，按列构成一个向量。
向量(b)：将等号右侧结果按列提取，构成一个向量。

接下来咱们经过行图像来求解这个方程：
所谓行图像，就是在系数矩阵上，一次取一行构成方程，在坐标系上做图。和咱们在初等数学中学习的做图求解方程的过程无异。

2.2 二维的列图像

接下来咱们使用列图像求解此方程：

即寻找合适的 x，y 使得 x 倍的(2,-1) + y 倍的(-1,2)获得最终的向量(0,3)。很明显能看出来，1 倍(2,-1) + 2 倍(-1,2)即知足条件。

反映在图像上，明显结果正确。

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方程组的几何解释推广

3.1 高维行图像


若是绘制行图像，很明显这是一个三个平面相交获得一点，咱们想直接看出这个点的性质可谓是难上加难。

比较靠谱的思路是先联立其中两个平面，使其相 交于一条直线，在研究这条直线与平面相交于哪一个点，最后获得点坐标即为方程 的解。

这个求解过程对于三维来讲或许还算合理，那四维呢？五维甚至更高维数呢？直观上很难直接绘制更高维数的图像，这种行图像受到的限制也愈来愈多。

3.2 高维列图像

左侧是线性组合，右侧是合适的线性组合组成的结果，这样一来思路就清晰多了，“寻找线性组合”成为了解题关键。

很明显这道题是一个特例，咱们只须要取 x = 0，y = 0，z = 1。就获得告终果，这在行图像之中并不明显。

固然，之因此咱们更推荐使用列图像求解方程， 是由于这是一种更系统的求解方法，即寻找线性组合，而不用绘制每一个行方程的图像以后寻找那个很难看出来的点。

另一个优点在于，若是咱们改变最后的结果 b，例如本题中，

那么咱们 2 −1 1 0 −3 4 −3 就从新寻找一个线性组合就够了，可是若是咱们使用的是行图像呢？那意味着我 们要彻底重画三个平面图像，就简便性来说，两种方法高下立判。

另外，还要注意的一点是对任意的 b 是否是都能求解 Ax = b 这个矩阵方程呢？ 也就是对 3*3 的系数矩阵 A，其列的线性组合是否是均可以覆盖整个三维空间呢？

对于咱们举的这个例子来讲，必定能够，还有咱们上面 2*2 的那个例子，也能够 覆盖整个平面，可是有一些矩阵就是不行的。

好比三个列向量自己就构成了一个 平面，那么这样的三个向量组合成的向量只能活动在这个平面上，确定没法覆盖 2 −1 1 一个三维空间，

这三个向量就构成了一个平面。

3.3 矩阵乘法

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学习感悟

这部份内容是对线性代数概念的初涉，从解方程谈起，引进列空间的概念，能够发现从列空间角度将求解方程变化为求列向量的线性组合，这个方式更加科学。 介绍了矩阵乘法，这部份内容重在理解。

但愿对你们有帮助~

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