递归求解斐波那契数列的问题

费波那契数列（意大利语：Successione di Fibonacci），又译费波拿契数、斐波那契数列、费氏数列、黄金分割数列。

在数学上，费波那契数列是以递归的方法来定义：

• (n≧2)

用文字来讲，就是费波那契数列由0和1开始，以后的费波那契系数就由以前的两数相加。首几个费波那契系数是（OEIS A000045）：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，………………

特别指出：0不是第一项，而是第零项。

(以上来自维基百科)

求解Fibonacci数列用java的递归很简单：

public static long fibonacci(int n)
    {
        if(n == 0 || n == 1)
        {
            return 1;
        }
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
    }

但用递归求解的效率几乎是没法容忍的，当n为50是，估计须要好几分钟，由于每递归调用一次fibonacci()函数，都会从新计算fibonacci(n - 1)和fibonacci(n - 2)，这样有不少数都是重复计算的，一个比较简单的方法就是用一个数据结构将计算后的值缓存起来，

求解时先从缓存里面拿数据，没有的话再计算并将计算后的结果加到缓存里面，这样就避免了不少重复计算。下面是用HashMap将数据缓存的例子：

private static HashMap<Integer, Long> hashMap = new HashMap<Integer, Long>();

private static long value;

 

public static long effectFibonacci(int n)
    {
        if(n == 0 || n == 1)
        {
            return 1;
        }
        if(hashMap.containsKey(n))
        {
            return hashMap.get(n);
        }
        else
        {
            value = effectFibonacci(n - 1) + effectFibonacci(n - 2);
            hashMap.put(n, value);
        }
        return value;
    }

这个算法跟上一个的效率相比有了很大的提升，当n = 1500时，花费的时间大约是 3082077 microseconds，而用上一个递归直接算，不知何年才能得出结果。

 

还有一种求解Fibonacci问题的方法就是利用动态规划算法，动态规划算法是将一个较大的问题分解为若干类似子问题，求解子问题而后合并并获得原问题的解，动态规划算法适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，重叠子问题即原问题可分解为若干的求解算法类似的子问题，最优子结构就是局部最优致使全局最优，即可以将子问题的解合并后获得原问题的解，这跟贪心算法类似。下面是用动态规划算法求解Fibonacci数列问题：

public static long bestFinabocci(int n)
    {
        long previous = 1, next = 1;
        long tmp = 2;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            tmp = previous + next;  //从2开始，每个后面的数都是前面两个数之和
            previous = next;
            next = tmp;
        }
        return tmp;
    }

跟上一个使用递归缓存求解，动态规划算法在效率上有了很大的提升，一样当 n = 1500是，递归缓存花费的时间大约是 3082077 microseconds，而动态规划花费的时间大约是 40410 microseconds。

由上面的实验来看，在递归的问题上，最好使用循环代替递归，不得不用到递归时，最好将数据缓存起来避免重复计算，不要直接调用递归函数。