动态规划入门之硬币问题

动态规划算法一般基于一个递推公式及一个或多个初始状态。 当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只须要多项式时间复杂度， 所以它比回溯法、暴力法等要快许多。动态规划也是面试笔试题中的一个考查重点，当阅读一个题目而且开始尝试解决它时，首先看一下它的限制。 若是要求在多项式时间内解决，那么该问题就极可能要用DP来解。遇到这种状况， 最重要的就是找到问题的“状态”和“状态转移方程”。(状态不是随便定义的， 通常定义完状态，你要找到当前状态是如何从前面的状态获得的， 即找到状态转移方程)若是看起来是个DP问题，但你却没法定义出状态， 那么试着将问题规约到一个已知的DP问题。

这里先说明一个最简单的动态规划实例：硬币问题。后续还会给出更多的实例，例如：最长公共子序列，最长公共子串，最长递增子序列，字符串编辑距离等。动态规划的关键就是找出“状态”和“状态转移方程”。

硬币问题：给你一些面额的硬币，而后给你一个值N，要你求出构成N所须要的最少硬币的数量和方案。分析：这个问题能够尝试用贪心算法去解决，先从面额最大的硬币开始尝试，一直往下找，知道硬币总和为N。可是贪心算法不能保证可以找出解（例如，给,2,3,5,而后N=11）。咱们能够换个思路，咱们用d(i)表示求总和为i的最少硬币数量（其实就是动态规划中的“状态”）,那么怎么从前面的状态（并不必定是d(i-1)这一个状态）到d(i)这个状态？假设硬币集合为coins[0~N]，在求d(i)以前，咱们假设d(1~i-1)所有都求出来了，那么d(i)=min{d(j)+1},if i-j 在coins中（其实这就是“状态转移方程”）。举例说明：coins={2,3,5}，N=11。

d(0)=0;

d(1)=0;

d(2)=d(0)+1=1;

d(3)=d(0)+1=1;

d(4)=d(2)+1=2;

d(5)=min{d(3)+1,d(2)+1,d(0)+1}=1;

d(6)=min{d(4)+1,d(3)+1}=2;

.......................

同时为了求出最后的方案（不单单是硬币个数），须要记录求每一个状态选择的“路径”，例如:求d(5)咱们选择了d(0)+1，那么咱们选择的路径就是5-0=5。咱们必须记录这些路径，而后根据路径得出结果。对于d(6)，咱们开始选择了3,也就是说咱们选择了从d(3)状态和硬币3跳转到d(6),接着对于d(3)，咱们选择了3，也就是说咱们选择了从d(0)状态和硬币3跳转到了d(3)，接着对于d(0)，这个是初始状态。因此咱们的方案是3,3。

若是上面说得还不够清晰，能够参照下面JAVA实现的代码

/** 
 *  
 * @author kerry 
 * 给定制定面值的硬币 ，并给出一个值，要求求出硬币综合为这个值须要的最少的硬币的个数，并具体的方案 
 */  
public class MinCoins {  
  
    /** 
     * @param args 
     */  
    public static void main(String[] args) {  
        // TODO Auto-generated method stub  
        int[] coins={1,3,5};  
        int value=100;  
        int[] solu=new int[value];  
        int min=new MinCoins().solution(coins,value,solu);  
        for(int i=value-1;i>=0;){  
            System.out.print(solu[i]+"->");  
            i=i-solu[i];  
        }  
        System.out.println();  
        System.out.println(min);  
          
    }  
    private int solution(int[] coins,int value, int[] solu){  
        int[] mins = new int[value+1];  
        mins[0]=0;  
        for(int i=1;i<=value;i++) mins[i]=Integer.MAX_VALUE;  
        for(int i=1;i<=value;i++){  
            for(int j=0;j<coins.length;j++){  
                if(coins[j]<=i&&mins[i]>mins[i-coins[j]]+1){  
                    mins[i]=mins[i-coins[j]]+1;  
                    solu[i-1]=coins[j];  
                }  
            }  
        }  
        return mins[value];  
    }  
  
}