ACM数论总结

ACM数论总结

http://blog.csdn.net/xieshimao/article/details/6425099

断断续续的学习数论已经有一段时间了，学得也很杂，如今进行一些简单的回顾和总结。

学过的东西不能忘啊。。。

 

一、本原勾股数：

概念：一个三元组(a,b,c)，其中a,b,c没有公因数并且知足：a^2+b^2=c^2

首先，这种本原勾股数的个数是无限的，并且构造的条件知足：

a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2

其中s>t>=1是任意没有公因数的奇数！

由以上概念就能够导出任意一个本原勾股数组。

 

二、素数计数（素数定理）

令π(x)为1到x中素数的个数

19世纪最高的数论成就就是如下这个玩意儿：

lim(x->∞){π(x)/(x/ln(x))}=1

数论最高成就，最高成就！！！有木有！！！

 

三、哥德巴赫猜测(1+1)

一个大偶数(>=4)必然能够拆分为两个素数的和，虽然目前尚未人可以从理论上进行证实，不过我根据科学家们利用计算机运算的结果，若是有一个偶数不能进行拆分，那么这个偶数至少是一个上百位的数！！

因此在ACM的世界中（数据量每每只有2^63如下）哥德巴赫猜测是成立的！！因此拆分程序必定可以实现的

 

四、哥德巴赫猜测的推广

任意一个>=8的整数必定可以拆分为四个素数的和

证实：

先来讲8=2+2+2+2，（四个最小素数的和）不能再找到比2小的素数了，因此当n小于8，就必定不可能拆分为四个素数的和！

那么当n大于等于8，能够分状况讨论：

（1）n&1==0(n为偶数)，那么n就必定能够拆分为两个偶数的和

那么根据哥德巴赫猜测，偶数能够拆分为两个素数的和，因而，n必定能够拆分为四个素数的和

（2）n&1==1(n为奇数)，n必定能够拆分为两个偶数+1

因为有一个素数又是偶数，2，那么奇数必定有以下拆分：2+3+素数+素数

得证。

 

五、欧拉函数（欧拉公式）

欧拉函数ph(n)的意思是全部小于n且与n互质的数的个数

好比说ph(12)=4,[1,5,7,11与12互质]

欧拉公式

a^ph(m)=1(mod m)

 

六、费马小定理

费马小定理是欧拉公式的一种特殊状况

因为当p为质数的时候ph(p)=p-1这是显然的

那么带入欧拉公式就获得了费马小定理

a^(p-1)=1(mod p)

p为质数(prime)

 

七、抽屉原理

抽屉原理实际上是废话，关键在于运用

这句废话是说，若是如今有3个苹果，放进2个抽屉，那么至少有一个抽屉里面会有两个苹果，这个很废话。

 

八、抽屉原理的运用

抽屉原理自己只是一句废话，不过他的运用却很是强大

如今假设有一个正整数序列a1,a2,a3,a4.....an，试证实咱们必定可以找到一段连续的序列和，让这个和是n的倍数，该命题的证实就用到了抽屉原理

咱们能够先构造一个序列si=a1+a2+...ai

而后分别对于si取模，若是其中有一个sk%n==0，那么a1+a2+...+ak就必定是n的倍数（该种状况得证）

下面是上一种状况的反面，即任何一个sk对于n的余数都不为0

对于这种状况，咱们能够以下考虑，由于si%n!=0

那么si%n的范围必然在1——（n-1），因此原序列si就产生了n个范围在1——（n-1）的余数，因而抽屉原理就来了，n个数放进n-1个盒子里面，必然至少有两个余数会重复，那么这两个sk1,sk2之差必然是n的倍数，

而sk1-sk2是一段连续的序列，那么原命题就获得了证实了

 

九、判断n!是否可以被m整除

计算方法是把m进行质因数分解，看下m的每个质因数是否可以在n!中找到；

n!中间包含了多少个x(x是任意的一个数，不过通常状况下咱们都只讨论x为质数)，这种问题的答案是： n/x+n/(x^2)+n/(x^3).....[一直加到x的乘方不超过n]，这个定理的证实也很是的简单，这里就再也不赘述了

根据以上观点，就能够分别计算m的每个质因数是否被彻底包含，若是有一个没有被包含，那么就不能被整除！

 

十、因子和的计算方法

神马叫因子和：一个数的因此因子的和就叫因子和。。。

好吧，举个例子：12的因子和为：1+2+3+4+6+12

计算方法是把12分解为质因数的表达形式2^2*3

那么他的因子和就是：(1+2+2^2)*(1+3)

证实写起来比较麻烦，大致上思路就是牛顿二项式。。。

 

十一、判断组合数C(n,m)的奇偶性

有一个我也不知道证实的方法

当n&m==m为奇数，反之就是偶数