知乎上图解小波变换

从傅里叶变换到小波变换，并非一个彻底抽象的东西，能够讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义，若是咱们从它的提出时所面对的问题看起，能够整理出很是清晰的思路。

下面我就按照傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的顺序，讲一下为何会出现小波这个东西、小波到底是怎样的思路。（反正题主要求的是通俗形象，没说简短，但愿不会太长不看。。）

1、傅里叶变换
关于傅里叶变换的基本概念在此我就再也不赘述了，默认你们如今正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。（在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换）

下面咱们主要将傅里叶变换的不足。即咱们知道傅里叶变化能够分析信号的频谱，那么为何还要提出小波变换？答案就是方沁园所说的，“对非平稳过程，傅里叶变换有局限性”。看以下一个简单的信号：<img src="https://pic1.zhimg.com/da6c4b8ce1672d4997000eb08444824c_b.jpg" data-rawwidth="597" data-rawheight="284" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="597" data-original="https://pic1.zhimg.com/da6c4b8ce1672d4997000eb08444824c_r.jpg">作完FFT（快速傅里叶变换）后，能够在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。作完FFT（快速傅里叶变换）后，能够在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。

一切没有问题。可是，若是是频率随着时间变化的非平稳信号呢？
<img src="https://pic1.zhimg.com/def600cea95fa10e3872e88dc8059d6c_b.jpg" data-rawwidth="690" data-rawheight="612" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="690" data-original="https://pic1.zhimg.com/def600cea95fa10e3872e88dc8059d6c_r.jpg">
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们一样包含和最上信号相同频率的四个成分。
作FFT后，咱们发现这三个时域上有巨大差别的信号，频谱（幅值谱）却很是一致。尤为是下边两个非平稳信号，咱们从频谱上没法区分它们，由于它们包含的四个频率的信号的成分确实是同样的，只是出现的前后顺序不一样。

可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号整体上包含哪些频率的成分，可是对各成分出现的时刻并没有所知。所以时域相差很大的两个信号，可能频谱图同样。

然而平稳信号大可能是人为制造出来的，天然界的大量信号几乎都是非平稳的，因此在好比生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。
<img src="https://pic3.zhimg.com/e71310fc73e7beba589b76264564abee_b.jpg" data-rawwidth="429" data-rawheight="287" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="429" data-original="https://pic3.zhimg.com/e71310fc73e7beba589b76264564abee_r.jpg">上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，咱们还想知道上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，咱们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的状况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。


2、短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）
一个简单可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁园同窗的描述了，“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每一个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪一个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。
看图：
<img src="https://pic3.zhimg.com/7f4ac3c30283e657406d6661300478a2_b.jpg" data-rawwidth="844" data-rawheight="449" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="844" data-original="https://pic3.zhimg.com/7f4ac3c30283e657406d6661300478a2_r.jpg">时域上分红一段一段作FFT，不就知道频率成分随着时间的变化状况了吗！时域上分红一段一段作FFT，不就知道频率成分随着时间的变化状况了吗！
用这样的方法，能够获得一个信号的时频图了：
<img src="https://pic1.zhimg.com/fec492fbcf67ddde4cb6017b62497bf4_b.jpg" data-rawwidth="649" data-rawheight="492" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="649" data-original="https://pic1.zhimg.com/fec492fbcf67ddde4cb6017b62497bf4_r.jpg"> ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，因此你们只用看一排就好了。

是否是棒棒的？时频分析结果到手。可是STFT依然有缺陷。

使用STFT存在一个问题，咱们应该用多宽的窗函数？
窗太宽太窄都有问题：<img src="https://pic4.zhimg.com/479dd3f809656bf154456868b65e73b3_b.jpg" data-rawwidth="627" data-rawheight="312" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="627" data-original="https://pic4.zhimg.com/479dd3f809656bf154456868b65e73b3_r.jpg">
<img src="https://pic3.zhimg.com/9da6c3e9704c32bfb7b53b995532878e_b.jpg" data-rawwidth="609" data-rawheight="350" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="609" data-original="https://pic3.zhimg.com/9da6c3e9704c32bfb7b53b995532878e_r.jpg">窗太窄，窗内的信号过短，会致使频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。窗太窄，窗内的信号过短，会致使频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
（这里插一句，这个道理能够用海森堡不肯定性原理来解释。相似于咱们不能同时获取一个粒子的动量和位置，咱们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。咱们不知道在某个瞬间哪一个频率份量存在，咱们知道的只能是在一个时间段内某个频带的份量存在。 因此绝对意义的瞬时频率是不存在的。）

看看实例效果吧：<img src="https://pic1.zhimg.com/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_b.jpg" data-rawwidth="608" data-rawheight="292" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="608" data-original="https://pic1.zhimg.com/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_r.jpg">
<img src="https://pic3.zhimg.com/c7d2d230a8c4766569c5a77fac901eea_b.jpg" data-rawwidth="604" data-rawheight="295" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="604" data-original="https://pic3.zhimg.com/c7d2d230a8c4766569c5a77fac901eea_r.jpg"><img src="https://pic2.zhimg.com/39822d6589c4486a0a91a148e0a3e571_b.jpg" data-rawwidth="614" data-rawheight="281" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="614" data-original="https://pic2.zhimg.com/39822d6589c4486a0a91a148e0a3e571_r.jpg"> ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
上图对同一个信号（4个频率成分）采用不一样宽度的窗作STFT，结果如右图。用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。可是频率轴上，窄窗明显不以下边两个宽窗精确。

因此窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低，宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，因此STFT仍是没法知足非稳态信号变化的频率的需求。


3、小波变换

那么你可能会想到，让窗口大小变起来，多作几回STFT不就能够了吗？！没错，小波变换就有着这样的思路。
但事实上小波并非这么作的（关于这一点，方沁园同窗的表述“小波变换就是根据算法，加不等长的窗，对每一小部分进行傅里叶变换”就不许确了。小波变换并无采用窗的思想，更没有作傅里叶变换。）
至于为何不采用可变窗的STFT呢，我认为是由于这样作冗余会太严重，STFT作不到正交化，这也是它的一大缺陷。

因而小波变换的出发点和STFT仍是不一样的。STFT是给信号加窗，分段作FFT；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不只可以获取频率，还能够定位到时间了~