[BJOI2019] 奥术神杖 [取log+AC自动机+dp]

题面

传送门

思路

首先，看到这个乘起来开根号的形式，应该能想到用取$\log$的方式作一个转化：

$\sqrt[n]{\prod_i a_i}=\frac{1}{n}\sum_i \log_b a_i$

这里咱们把$b$取到$e$，就是$\ln a_i$了，不过实际上$b$取什么都没有问题

那么，这个问题就转化为了求全部匹配的宝石序列的最大平均值

遇到这种多模式串、单模板串的状况，应当第一时间想到AC自动机

咱们创建模式串的AC自动机，并在上面跑dp便可完成题目的求解

创建AC自动机的时候，注意每一个节点须要继承$fail$树上全部祖先的信息！

遇到这种有对选取的元素求平均值的最值的状况，应当第一时间想到0-1分数规划

咱们二分最大平均值的答案，设当前为$C$

那么如有一组匹配方式能达到这个$C$，或以上，则有：

$\frac{1}{siz}\sum_{i=1}^{siz}w_i\geq C$

$\sum_{i=1}^{siz}w_i\geq C\ast siz$

$\sum_{i=1}^{siz}(w_i-C)\geq 0$

因此咱们把每个取过$\log$的元素减去当前二分的$C$，在AC自动机上跑dp

这样的好处是避免了须要在dp中维护已匹配元素个数的一个维度，能够优化一个$n$的时间复杂度

创建AC自动机后，设$dp[i][u]$表示当前遍历完成了模板串的前$i$个字符，匹配指针位置在AC自动机节点$u$上的状况时的最大值。

若模板串的下一个字符是肯定的，就直接走到对应的儿子便可

不然须要更新每个$dp[i+1][son_u]$的值

详细的更新方式见代码

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)) re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
int n,m;double w[1510];
char a[1510],s[1510][1510];
int ch[1510][10],cntn=0,num[1510],fail[1510];
double sum[1510];
//AC Automaton
inline void insert(int x,int len){
    int i,cur=0,tmp;
    for(i=1;i<=len;i++){
        tmp=s[x][i]-'0';
        if(!ch[cur][tmp]) ch[cur][tmp]=++cntn;
        cur=ch[cur][tmp];
    }
    num[cur]++;sum[cur]+=w[x];
}
queue<int>q;
inline void build(){
    int i,u,v;
    for(i=0;i<10;i++){
        if(!ch[0][i]) continue;
        q.push(ch[0][i]);fail[ch[0][i]]=0;
    }
    while(!q.empty()){
        u=q.front();q.pop();
        num[u]+=num[fail[u]];
        sum[u]+=sum[fail[u]];
        for(i=0;i<10;i++){
            v=ch[u][i];
            if(v) fail[v]=ch[fail[u]][i],q.push(v);
            else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
        }
    }
}
//Dynamic Programming
double dp[1510][1510];
int from[1510][1510][2],endpos;
inline bool check(double mid){
    int i,j,k,son;
    for(i=0;i<=n;i++) for(j=0;j<=cntn;j++) dp[i][j]=-2e20;
    for(i=0;i<=cntn;i++){
        sum[i]-=mid*(double)num[i];//cut the value according to binary search process
    }
    dp[0][0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=0;j<=cntn;j++){
            if(dp[i-1][j]==-2e20) continue;
            if(a[i]!='.'){//character is fixed in original S
                son=ch[j][a[i]-'0'];
                if(dp[i][son]<dp[i-1][j]+sum[son]){
                    dp[i][son]=dp[i-1][j]+sum[son];
                    from[i][son][0]=j;//record the source of the maximum value
                    from[i][son][1]=a[i]-'0';//record the corresponding character
                }
            }
            else{//character is unfixed
                for(k=0;k<10;k++){
                    son=ch[j][k];
                    if(dp[i][son]<dp[i-1][j]+sum[son]){
                        dp[i][son]=dp[i-1][j]+sum[son];
                        from[i][son][0]=j;
                        from[i][son][1]=k;
                    }
                }
            }
        }
    }
    int pos=0;
    for(i=1;i<=cntn;i++) if(dp[n][i]>dp[n][pos]) pos=i;
    for(i=0;i<=cntn;i++) sum[i]+=mid*(double)num[i];//repair the value cut
    endpos=pos;return dp[n][pos]>0;//determine if largest value is over zero
}
char re[1510];
int main(){
    n=read();m=read();int i;
    scanf("%s",a+1);
    for(i=1;i<=m;i++){
        scanf("%s",s[i]+1);
        w[i]=read();
        w[i]=log((double)w[i]);
        insert(i,strlen(s[i]+1));
    }
    build();
    double l=0,r=log(1e9+7),mid,ans=0;
    while(r-l>1e-6){//binary search
        mid=(l+r)*0.5;
        if(check(mid)) ans=mid,l=mid;
        else r=mid;
    }
    check(ans);
    for(i=n;i>=1;i--){//get the answer string
        re[i]=from[i][endpos][1]+'0';
        endpos=from[i][endpos][0];
    }
    for(i=1;i<=n;i++) putchar(re[i]);
    putchar('\n');
}