正态分布与中心极限定理

正态分布

定义

正态分布（英语：normal distribution）又名高斯分布（英语：Gaussian distribution），是一个很是常见的连续几率分布。正态分布在统计学上十分重要，常常用在天然和社会科学来表明一个不明的随机变量。

也就是说，正态分布一种分布形式，它实际上有不少表示形式，最多见的有几率密度函数，累计分布函数等等来表示。

在OI界出过的也仅有几率密度函数由于其余的我没据说过

几率密度公式

设指望为$\mu$，方差为$\sigma$

则有$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

$f(x)$表示该点出现的几率

若是一个随机变量$X$服从这个分布，咱们写做$X \sim N(\mu, \sigma)$

特殊的，若是$\mu = 0, \sigma = 1$，这个分布被称为标准正态分布

 

中心极限定理

简介

中心极限定理是几率论中的一组定理。中心极限定理说明，在适当的条件下，大量相互独立随机变量的均值经适当标准化后依分布收敛于正态分布。这组定理是数理统计学和偏差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。

关于中心极限定理，有不少延伸版本，它们大都证实了某一种实验以某一种正态分布为极限，具体也没啥多大的用处，想学的本身维基吧qwq

推论

中心极限定理有一个很是重要的推论。

如有$N$个独立同分布的随机变量$x_1, x_2, \dots, x_n$

指望为$\mu$，方差为$\sigma$

那么设

$$Y_n = \frac{\sum_{i = 1}^n x_i - n\mu}{\sqrt{n \sigma^2}}$$

当$n$足够大时，咱们认为$Y_n$服从标准正态分布

 

这玩意儿有什么用呢？

好比说咱们要对某个$f(x)$进行积分，它可能会形成很是大的精度偏差

转成标准正态分布能够有效的下降偏差

具体作法是：首先对咱们要积分的区间$(L, R)$进行转化，再对转化出来的两个$Y_n$对应的区间积分

具体示例