一道关于股票最大收益的算法题

这原本是一个网友提的问题，我作了很详细的回答。结果被爬虫网站爬过去当作文章了。因而整理了一下，发表成文章吧。

题目是这样的:

给定数组n，包含n天股票的价格price.
一我的一共最多能够买2手股票，但在第一手股票卖出前不能买入第二手股票。若是不买，收益为0.假设每手只买1股。计算这我的最大收益。
输入:[3,8,5,1,7,8]
输出:12

当时正在Starbucks写网站，因而就顺手写了以下的代码：

<?php

function getMaxProfilt(array $arr) {
    $len = count($arr);
    $array_tmp = array();
    echo '辅助数组:', '<br />';
    for($i = 0; $i < $len; $i++) {
        for($j = 0; $j < $len; $j++) {
            $array_tmp[$i][$j] = $arr[$j] - $arr[$i];
            echo $array_tmp[$i][$j] . ' ';
        }
        echo '<br />';
    }
    $maxProfit_i = 1;
    $maxProfit_j = 2;
    $maxProfit = $array_tmp[1][2];
    for($i = 1; $i < $len; $i++) {
        for($j = 2; $j < $len; $j++) {
            if($array_tmp[$i][$j] > $maxProfit && $j > $i) {
                $maxProfit = $array_tmp[$i][$j];
                $maxProfit_i = $i;
                $maxProfit_j = $j;
            }
        }
    }
    echo 'maxProfit is :', $maxProfit, '; maxProfit_i is:', $maxProfit_i, '; maxProfit_j is :', $maxProfit_j, '<br />';
    $secondProfit = $array_tmp[0][1];
    $secondProfit_i = 0;
    $secondProfit_j = 1;
    for($i = 0; $i < $maxProfit_i; $i++) {
        //这里控制第二手买入要在第一手卖出的状况下才能买入
        for($j = 1; $j < $maxProfit_i; $j++) {
            if($array_tmp[$i][$j] > $secondProfit && $j > $i) {
                $secondProfit = $array_tmp[$i][$j];
                $secondProfit_i = $i;
                $secondProfit_j = $j;
            }
        }
    }
    echo 'second profit is : ', $secondProfit, '; secondProfit_i is :', $secondProfit_i, '; secondProfit_j is :', $secondProfit_j, '<br />';    
    return $maxProfit + $secondProfit;
}

// $array = [3, 8, 5, 1, 7, 8];
// $array = [1,2,3,4,5,6,7,8];
$array = [2,9,1,9,2,4,8,6,2];

echo getMaxProfilt($array);

如下是思路:

为了方便理解，我画了张图，以下:

程序思路:

定义参数数组为array;

一开始的想法

一开始我把问题想的很简单，觉得只要把两个最大收益相加就行，由于你有一个条 件，第一手没有卖出前不能买入第二手。麻烦的就是这里，因此一开始写代码的时候才发现仍是有点复杂。因此用到了二维数组用来控制条件:第二手买入前要卖出第一手;

获得全部可能且有效的收益:

图上能看到二维数组的元素都来自于array后面的数减去其前面的数，并且只有右上方才是真正的收益，假设x轴方向元素下标为j,y轴方向元素下标为i.即有效的收益第一条件为:j>i;

解题关键

有一个很关键的问题要明白，明白这个以后，后面的就好理解了,以下:

有效收益原则

小明在股价3元的时候买入，在第一个8元的时候卖出，获得收益5元，这时候，他就永远不会获得5元后面的收益，即2,-2,4,5。可是能获得5的右下角(不包括5所在的行和列)的收益。咱们把这个例子叫作有效收益原则，后面会用到。

很明显图中最大的收益是6和7，可是这违反了有效收益原则。

缩小最大两个有效收益范围

根据有效收益原则逆推，若是咱们能肯定最大收益的位置，即7的位置，咱们就能把两个有效最大收益的范围缩小，一个是7，另外一个在7(不包括7的行和列)的左上角。因此我在获得辅助数组后就先找到了7的位置。之因此从－3开始找，是为了排除第一个5是最大收益的状况。

最后的条件

获得了两个最大收益的范围，就差最后一个且最重要的条件了:第二手买入必须在第一手卖出以后。
我仍是举例来讲明，根据图片咱们知道最大收益是7，想要获得7，第一手就必须在股票价格为1的时候卖出第一手股票，而后当即买入。或者股票价格为1的时候第一手股票已经卖出。而7的下标(从0开始)为i=3,j=5.根据有效收益原则，第二大的收益的范围就缩小到i=j=3的左上角了。知道了范围，代码中第三个双重循环就能找到第二大的收益了。

代码讲解:

• 获得有效收益的二维辅助数组(第一个双重循环)
• 获得最大的有效收益及其位置(第二个双重循环)
• 根据上面的位置肯定第二大收益的范围
• 根据范围获得第二大收益(第三个双重循环)

总体的过程就是这样了。不过尚未去分析过复杂度，有兴趣的朋友能够试一试。若是有更好的算法欢迎交流。