信号与系统公式笔记（3）

时间 2020-01-29 标签信号系统公式笔记

参考了上海交通大学的讲课录像，b站av号：5868266。web

提醒：LTI系统里面的“线性”只限于系统零输入响应与系统的存储能量，零状态响应与系统接收到的输入。由于系统的彻底响应 = 零输入响应（系统在没有输入时储能元件储存的能量的输出） + 零状态响应（系统在收到输入后的输出）。若是零输入响应=0，那么其实全响应能够和输入成线性关系。
其实上面说的就是LTI的两种线性特性：零状态线性和零输入线性。svg

例题1：

例题1的解在下面的说。函数

系统响应划分：
按照输入来源：零输入响应和零状态响应
按照输出来分：暂态响应（随着时间增加趋于零）和稳态响应（随着时间增加不趋于零）
按照响应的决定形式：自由响应和强迫响应atom

关于自由响应和强迫响应贫僧想详细点介绍：
自由响应：也称固有响应，由系统自己特性决定，与外加激励无关。对应方程的齐次解（由系统产生）。
强迫相应：形式取决于外加激励。对应于特解（由外加输入产生）。spa

难点：上面这两种和零输入、零状态响应的关系：
零输入响应必定是自由响应（零输入没有输入，因此输出必定是系统产生的）。
零状态响应不只会产生强迫响应，还会产生自由响应（由于求特解的时候仍是要用到齐次解，因此求出的零状态响应有部分是属于自由响应的（齐次解部分），另外一部分对应强迫响应（特解））。orm

关于求出的解里面的待定系数的求法：
零输入响应实际上是系统方程的齐次解,由非零的系统状态值 $v_c(0_-)$ 和 $i_L(0_-)$ 决定的初始值求出待定系数。
零状态响应实在激励做用下求系统方程的非齐次解，由状态值 $v_c(0_-)$ 和 $i_L(0_-)$ 为零决定的初始值求出待定系数。xml

关于求零状态响：
卷积
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r (t) = e (t) * h (t)

$r(t) = e(t) * h(t)$
其实就至关于把原信号反向，分解成无数个冲激函数，而后输入到系统中。

冲激响应
定义：
系统在单位冲激信号 $\sigma(t)$ 做用下产生的零状态响应，通常用 $h(t)$ （一般看到这个符号就要想到是冲激响应）表示。ip

冲激 $\sigma(t)$ 在 $t = 0$ 时转为系统的储能（由 $v_c(0_+)$ 体现）， $t > 0$ 时，在非零初始条件下齐次方程的解，就是原系统的冲激响应。it

用特征方程求出特征根，就能够列出 $v_c(t)$ （ $t > 0_+$ 时的解）。而后经过冲激函数匹配法求出 $v_c(0_+)$ 来肯定特征根的系数。

注意列出特征根以后带入方程的时候不要忘了特征根里面的 $\mathrm{u}(t)$ 。

时域下加一样的激励 $\delta(t)$ ，若是不一样系统的响应 $\mathrm{h}(t)$ 不一样，那么系统特性就不一样。
另外能够用变换域（拉氏变换）方法求冲激响应和阶跃响应。

阶跃响应
定义：
系统在单位阶跃信号做用下的零状态响应，就是单位阶跃响应。

系统方程的右端将包含阶跃函数 $\mathrm{u}(t)$ ，因此除了齐次解外还有特解项（由于在 $t > 0$ 的时候 $\mathrm{u}(t)$ 不为零，因此至关于一个系数，就有了特解）。

一般利用冲激响应与阶跃响应的关系来求阶跃响应。

u (t) = \int_{- \infty}^{t} δ (t) d t g (t) = \int_{- \infty}^{t} h (t) d t

$\mathrm{u}(t) = \int_{-\infty}^{t}\delta(t)\mathrm{d}t\\ g(t) = \int_{-\infty}^{t}\mathrm{h}(t)\mathrm{d}t$
阶跃响应是冲激响应的积分，积分限

\int_{- \infty}^{t}

$\int_{-\infty}^{t}$ 对因果系统

\int_{0_{-}}^{t}

$\int_{0_-}^{t}$ （由于因果系统从

0_{-}

$0_-$ 开始才有值，再往前都是0）.。

卷积
核心思想：连续时间信号能够分解成一系列移位加权的单位冲击信号的线性组合（积分就是取极限的求和）。

重要性质

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) δ (t - τ) d τ

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)\mathrm{d}\tau$
若是一个线性系统对

δ (t - τ)

$\delta(t-\tau)$ 的响应为

h_{τ} (t)

$h_\tau(t)$ ，那么该系统对

x (t)

$x(t)$ 的响应为：

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h_{τ} (t) d τ

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\mathrm{h_\tau}(t)\mathrm{d}\tau$
若是系统是时不变的，若

δ (t) \to h (t)

$\delta(t)\rightarrow \mathrm{h}(t)$ ，则有

δ (t - τ) \to h (t - τ)

$\delta(t - \tau) \rightarrow \mathrm{h}(t - \tau)$ ，因而系统对任意输入

x (t)

$x(t)$ 的响应能够表示为：

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\mathrm{h}(t - \tau)\mathrm{d}\tau$
即

y (t) = x (t) * h (t)

$y(t) = x(t) * \mathrm{h}(t)$

h (t)

$\mathrm{h}(t)$ 就是系统的单位冲激响应。

一般用这个性质来求系统在某些输入下的输出。

卷积的计算有图解法、解析法和数值解法。
运算的实质也是：两个卷积的信号中，一个不懂，另外一个反转后随参变量 $t$ 移动，对每一个 $t$ 的值，将 $x(\tau)$ 和 $\mathrm{h}(t - \tau)$ 对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积（可是有时不是面积，而是横轴重复的点上对应的函数值）。
例2

其实没什么技巧，重要的是细心，慢慢分步作就是了。

系统是LTI且卷积老是收敛时，卷积知足交换律、分配律、结合律。

卷积积分知足微分、积分及时移特性
1. 若 $x(t) * \mathrm{h} = y(t)$

x^{'} (t) * h (t) = x (t) * h^{'} (t) = y^{'} (t) [\int_{- \infty}^{t} x (τ) d τ] * h (t) = x (t) * [\int_{- \infty}^{t} h (τ) d τ] = [\int_{- \infty}^{t} y (τ) d τ]

$x'(t) * \mathrm{h}(t) = x(t) * \mathrm{h}'(t) = y'(t)\\ [\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\mathrm{d}\tau] * \mathrm{h}(t) = x(t) * [\int_{-\infty}^{t}\mathrm{h}(\tau)\mathrm{d}\tau] = [\int_{-\infty}^{t}y(\tau)\mathrm{d}\tau]$

x (t - t_{0}) * h (t) = x (t) * h (t - t_{0}) = y (t - t_{0})

$x(t - t_0) * \mathrm{h}(t) = x(t) * \mathrm{h}(t - t_0) = y(t - t_0)$

x (t - t_{1}) * h (t - t_{2}) = y (t - t_{1} - t_{2})

$x(t - t_1) * \mathrm{h}(t - t_2) = y(t - t_1 - t_2)$

例题的答案：

例1：