最小生成树

最小生成树是树的一种，具体有两种算法去实现。

普利姆（prim)算法：

         大意：先找一个数（通常为1或输入的第一个数）将其视为一个集合m，那么剩下的集合可看作（u（设为总集合）-m）。

接着找出一个最短边（在链接两个集合的边中），而后将这边纳入集合m，直到m=u；

           例子：

       

某省调查乡村交通情况，获得的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间均可以实现公路交通（但不必定有直接的公路相连，只要能间接经过公路可达便可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

 

Input

测试输入包含若干测试用例。每一个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。

 

Output

对每一个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。

 

Sample Input

3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
4
1 2 1
1 3 4
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 4 5
0

 

Sample Output

3
5

code：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MaxInt 65535//设置最大值 表示两个点不通
#define N 110
int map[N][N],low[N],visited[N];
int n;
int prim()
{
    int i,j,pos,min,result=0;
    memset(visited,0,sizeof(visited));
    visited[1]=1;//遍历过就标记为一
    pos=1;//记录m集合的“外交官”
    for(i=1; i<=n; i++)
        if(i!=pos)
            low[i]=map[pos][i];//记录和pos点边距离的值

    for(i=1; i<n; i++)//固然要算的是整个顶点
    {
        min=MaxInt;
        for(j=1; j<=n; j++)
            if(visited[j]==0&&min>low[j])
            {
                min=low[j];
                pos=j;
            }//找出最短边
        result+=min;
        visited[pos]=1;//归入m集合.
        for(j=1; j<=n; j++)
            if(visited[j]==0&&low[j]>map[pos][j])
                low[j]=map[pos][j];//记录和pos点边距离的值
    }
    return result;
}
int main()
{
    int i,v,j,ans,a,b;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(n==0)
            break;
        memset(map,MaxInt,sizeof(map));//初始值 视每两个点都不通
        for(j=1; j<=n*(n-1)/2; j++)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);
            map[a][b]=map[b][a]=v;//标记两个城市间的距离
        }
        ans=prim();
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}
2 克鲁斯卡尔（kruskal）算法：

  大意：

咱们假设一个图有m个节点，n条边。首先，咱们须要把m个节点当作m个独立的生成树，而且把n条边按照从小到大的数据进行排列。在n条边中，咱们依次取出其中的每一条边，若是发现边的两个节点分别位于两棵树上，那么把两棵树合并成为一颗树；若是树的两个节点位于同一棵树上，那么忽略这条边，继续运行。等到全部的边都遍历结束以后，若是全部的生成树能够合并成一条生成树，那么它就是咱们须要寻找的最小生成树，反之则没有最小生成树。ps 要用并查集的思想

例题：

       

某省调查乡村交通情况，获得的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间均可以实现公路交通（但不必定有直接的公路相连，只要能间接经过公路可达便可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

 

Input

测试输入包含若干测试用例。每一个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。

 

Output

对每一个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。

 

Sample Input

3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
4
1 2 1
1 3 4
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 4 5
0

 

Sample Output

3
5

code：

  #include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define M 5000
int Start[M],End[M],Wealth[M],father[M],line[M];

int find_(int f)//查找父节点
{
    if(f!=father[f])
        return father[f]=find_(father[f]);
    return f;
}

int cmp(const int i,const int j)//sort排序要加的东西，具体啥用不清楚。。。
{
    if(Wealth[i]!=Wealth[j])
       return Wealth[i]<Wealth[j];//按边值排序

}

int kruskal(int n,int m)//具体实现步骤
{
    int e,ans=0,i,j,x,y;
    for(i=0;i<=n;i++)//初始化为单一集合
        father[i]=i;
    for(i=0;i<=m;i++)
        line[i]=i;
    sort(line,line+m,cmp);//按边值排序
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        e=line[i],x=find_(Start[e]),y=find_(End[e]);

        if(x!=y)//判断是否两个节点位于同一个树上
        {
            father[x]=y;
            ans+=Wealth[e];
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n,m,i,p;
    while(1)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n==0)
            break;
        m=n*(n-1)/2;
        for(i=0;i<m;i++)
            scanf("%d%d%d",&Start[i],&End[i],&Wealth[i]);
        p=kruskal(n,m);
        printf("%d\n",p);
    }
}

总结：

1.普里姆（Prim)算法
特色：时间复杂度为O(n2).适合于求边稠密的最小生成树。
2.克鲁斯卡尔（Kruskal)算法
特色：时间复杂度为O(eloge)(e为网中边数），适合于求稀疏的网的最小生成树。