最短路径：Dijkstra算法和Floyd算法

Dijkstra算法——单源最短路径算法

算法本质：求图中某个顶点到其余各顶点的最短路径。

相关符号	说明
v	源点
S	已经生成最短路径的终点
w<v, vi>	从顶点 v 到顶点 vi 的权值
dist(v, vi)	表示从顶点 v 到顶点 vi 的最短路径长度
数组dist[n]	存储当前最短路径的长度
数组path[n]	存储当前的最短路径，即顶点序列

从 v 到其他所有顶点的最短路径

• 初始化：集合S = {v}；dist(v, vi) = w<v, vi>, (i=1…n)；
• 重复下述操作直到 S == V
  2.1 dist(v, vk) = min{dist(v, vj), (j=1…n)}；
  2.2 S = S + {vk}；
  2.3 dist(v, vj)=min{dist(v, vj), dist(v, vk) + w<vk, vj>}；

例：

图采用邻接矩阵来存储

• (1)从顶点v0到其余顶点最短路径。当v0到vi有边，则写出权值，否则∞。

• (2) 从通往当前剩余顶点的路径选取权值最小的，是v0->v1.权值为10，因此将顶点v1并入到S中。

• (3)从通往当前剩余顶点的路径中选取权值最小的，是v0->v3，权值为30，因此将v3并入到S中。
  v0->v3->v2,权值为50，将v2并入到S。

• 重复上述操作

由上表可知：

1. 顶点v0到顶点v1的最短路径为v0→v1，长度为10.
2. 顶点v0到顶点v2的最短路径为v0→v3→v2，长度为50.
3. 顶点v0到顶点v3的最短路径为v0→v3，长度为30.
4. 顶点v0到顶点v4的最短路径为v0→v3→v2→v4，长度为60.

Floyd算法——多源最短路径算法

算法本质：求图中任意一对顶点间的最短路径。

相关符号	说明
w<vi, vj>	从顶点 vi 到顶点 vj 的权值
distk(vi, vj)	从顶点 vi 到顶点 vj 经过的顶点编号不大于 k 的最短路径长度

每一对顶点的最短路径

1. 初始化：假设从 vi 到 vj 的弧是最短路径，即dist-1(vi, vj)=w<vi, vj>；
2. 循环变量 k 从 0~n-1 进行 n 次迭代：
   distk(vi, vj)=min{distk-1(vi, vj), distk-1(vi, vk)+distk-1(vk, vj)}

例：有三座城市，v0与v2、v1城市有互相到达的公路，v2没有直接到达v1的公路。

城市v2去城市v1经过了城市v0，距离为7。

城市v0去城市v2可以经过了城市v1，距离为6<直接去的距离11.

城市v1去城市v0可以经过了城市v2，距离为5<直接去的距离6.

时间复杂度

最短路径算法	时间复杂度
Dijkstra算法	O(n²)
Floyd算法	O(n³)

此次的数据结构分享就到这里，欢迎大家指导指正~ 我是爱吃肉的小白yyyloki，如果你觉得不错的话点个赞👍吧！我们下次见~886