【CF1063D】Candies for Children 数学

题目大意

　　有 \(n\) 我的排成一个圈，你有 \(k\) 颗糖，你要从第 \(l\) 我的开始发糖，直到第 \(r\) 我的拿走最后一颗糖。注意这 \(n\)　我的拍成了一个圈，因此第 \(n\) 我的拿完后会轮到第 \(1\) 我的拿。第 \(i\) 我的每次拿走的糖的数量是 \(a_i\)（由你决定）。若是第 \(r\) 我的要拿两个糖且只剩下一颗糖，那么他就只会拿走这一颗。问你最多能让多少我的每次拿两颗糖。

　　\(n,k\leq {10}^{11}\)

题解

　　分 \(n\) 小和 \(n\) 大两部分考虑。

　　若是 \(n\) 比较小，就能够枚举答案，而后判断 \(l\sim r\) 这些人能不能拿走 \(k\bmod (ans+n)\) 颗糖。

　　具体来讲，这些人拿走的糖的数量 \(s\) 必须知足 \(mi\leq s\leq ma\)，其中
\[ \begin{align} mi&\geq ans-n+len-1\\ mi&\geq 0\\ ma&\leq ans\\ ma&\leq len\\ \end{align} \]
　　若是 \(n\) 比较大，那么就能够枚举最少那我的拿了几回糖 \((i)\)。

　　记 \(k_1\) 为全部人拿的糖的数量的和，\(k_2\) 为 \(l\sim r\) 的人拿的糖的数量，那么就有
\[ \begin{align} ik_1+k_2&=k\\ mi&\geq k_1-n-n+len-1+len\\ mi&\geq len\\ ma&\leq k_1-n+len\\ ma&\leq len+len\\ mi&\leq k_2\leq ma\\ ik_1+mi&\leq k\leq ik_1+ma\\ ik_1+2len+k_1-2n-1&\leq k\\ ik_1+len&\leq k\\ ik_1+len+k_1-n&\geq k\\ ik_1+2len&\geq k\\ k_1&\leq \frac{k-2len+2n+1}{i+1}\\ k_1&\leq \frac{k-len}{i}\\ k_1&\geq \frac{k-2len}{i}\\ k_1&\geq \frac{k-len+n}{i+1} \end{align} \]
　　而后找出这个范围内最大的 \(k_1\) 就行了。

　　时间复杂度：\(O(\sqrt k)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<iostream>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
using std::cin;
using std::cout;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
typedef long double ldb;
ll n,k;
ll l,r;
ll ans=-1;
ll len;
int main()
{
    open("d");
    cin>>n>>l>>r>>k;
    len=(r>=l?r-l+1:n-l+1+r);
    if(n<=1000000)
    {
        for(int i=n;i<=2*n;i++)
        {
            ll s=k%i;
            if(s==0)
                s=i;
            s-=len;
            ll mi=max(i-n-(n-len)-1,0ll);
            ll ma=min(len,i-n);
            if(s>=mi&&s<=ma)
                ans=max(ans,i-n);
        }
    }
    else
    {
        if(k>=len&&k<=2*len)
            ans=max(ans,k==2*len?n:n-len+k-len+1);
        for(int i=1;i<=k/n;i++)
        {
            ll s2=min((k-2*len+2*n+1)/(i+1),(k-len)/i);
            ll s1=max((k-2*len+i-1)/i,(k-len+n+i)/(i+1));
            if(s1<=s2)
                ans=max(ans,s2-n);
        }
    }
    cout<<ans<<std::endl;
    return 0;
}