白噪声

时间 2019-11-12

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白噪声，是一种功率谱密度为常数的随机信号或随机过程。即，此信号在各个频段上的功率是同样的。因为白光是由各类频率（颜色）的单色光混合而成，于是此信号的这种具备平坦功率谱的性质被称做是“白色的”，此信号也所以被称做白噪声。相对的，其余不具备这一性质的噪声信号被称为有色噪声。php

理想的白噪声具备无限带宽，于是其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，咱们经常将有限带宽的平整信号视为白噪声，以方便进行数学分析。函数

1. 统计特性

白噪声过程现实实例测试

术语白噪声也经常使用于表示在相关空间的自相关为0的空域噪声信号，因而信号在空间频率域内就是“白色”的，对于角频率域内的信号也是这样，例如夜空中向各个角度发散的信号。右面的图片显示了计算机产生的一个有限长度的离散时间白噪声过程。spa

须要指出，相关性和几率分布是两个不相关的概念。“白色”仅意味着信号是不相关的，白噪声的定义除了要求均值为零外并无对信号应当服从哪一种几率分布做出任何假设。所以，若是某白噪声过程服从高斯分布，则它是“高斯白噪声”。相似的，还有泊松白噪声、柯西白噪声等。人们常常将高斯白噪声与白噪声相混同，这是不正确的认识。根据中心极限定理，高斯白噪声是许多现实世界过程的一个很好的近似，而且可以生成数学上能够跟踪的模型，这些模型用得如此频繁以致于加性高斯白噪声成了一个标准的缩写词：AWGN。此外，高斯白噪声有着很是有用的统计学特性，由于高斯变量的独立性与不相关性等价。.net

白噪声是维纳过程或者布朗运动的广义均方导数(generalized mean-square derivative)。设计

白噪声的数学指望为0：图片

$\mu _{n}={\mathbb {E}}\{n(t)\}=0$

其自相关函数为狄拉克δ函数：ip

$r_{{nn}}={\mathbb {E}}\{n(t)n(t-\tau )\}=\delta (\tau )$

上式正是对白噪声的“白色”性质在时域的描述。因为随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换，而δ函数的傅里叶变换为常数，所以白噪声的功率谱密度是平坦的。get

频谱图上显示的左边的粉红噪声和右边的白噪声数学

2. 噪声的颜色

也有其它“颜色”的噪声存在，最经常使用的有粉红、棕色和蓝色噪声。

3. 应用

白噪声的应用领域之一是建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力而且不但愿出现的噪声（如人的交谈），使用持续的低强度噪声做为背景声音。一些紧急车辆的警报器也使用白噪声，由于白噪声可以穿过如城市中交通噪声这样的背景噪声而且不会引发反射，因此更加容易引发人们的注意。

在电子音乐中也有白噪声的应用，它被直接或者做为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪声信号，尤为是在音频合成中，常常用来重现相似于铙钹这样在频域有很高噪声成分的打击乐器。

白噪声也用来产生冲激响应。为了在一个演出地点保证音乐会或者其它演出的均衡效果，从PA系统发出一个瞬间的白噪声或者粉红噪声，而且在不一样的地方监测噪声信号，这样工程师就可以建筑物的声学效应可以自动地放大或者削减某些频率，从而就能够调整整体的均衡效果以获得一个平衡的和声。

白噪声能够用于放大器或者电子滤波器的频率响应测试，有时它与响应平坦的话筒或和自动均衡器一块儿使用。这个设计的思路是系统会产生白噪声，话筒接收到扬声器产生的白噪声，而后在每一个频率段进行自动均衡从而获得一个平坦的响应。这种系统用在专业级的设备、高端的家庭立体声系统或者一些高端的汽车收音机上。

白噪声也做为一些随机数字生成器的基础使用。

白噪声也能够用于审讯前令人迷惑，而且可能用于感受剥夺技术的一部分。上市销售的白噪声机器产品有私密性加强器、睡眠辅助器以及掩饰耳鸣。

4. 数学定义

4.1 白色随机向量

一个随机向量 $\mathbf {w}$ 为一个白色随机向量当且仅当它的平均值函数与自相关函数知足如下条件：

$\mu _{w}={\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}\}=0$

$R_{{ww}}={\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}{\mathbf {w}}^{T}\}=\sigma ^{2}{\mathbf {I}}$

意即它是一个平均值为零的随机向量，而且它的自相关函数是单位矩阵的倍数。

4.2 白色随机过程（白噪声）

一个时间连续随机过程 where $t\in {\mathbb {R}}$ 为一个白噪声当且仅当它的平均值函数与自相关函数知足如下条件：

$\mu _{w}(t)={\mathbb {E}}\{w(t)\}=0$

$R_{{ww}}(t_{1},t_{2})={\mathbb {E}}\{w(t_{1})w(t_{2})\}=(N_{{0}}/2)\delta (t_{1}-t_{2})$

意即它是一个对全部时间其平均值为零的随机过程，而且它的自相关函数是狄拉克δ函数，有无限大的功率。

由上述自相关函数可推出如下的功率谱密度。

$S_{{xx}}(\omega )=(N_{{0}}/2)\,\!$

因为δ函数的傅里叶变换为1。而对于全部频率来讲，此功率谱密度是同样的。所以这是对白噪声之“白色”性质在频域的表述。

5. 随机向量变换

白色随机向量的两个理论应用是模拟以及whitening另一个任意随机向量。为了模拟一个任意随机向量，咱们使用一个仔细选择的矩阵对白色随机向量进行变换。咱们选择的变换矩阵可以是被变换的白色随机向量的平均值和协方差矩阵与模拟的任意向量的平均值和协方差矩阵相匹配。为了whiten一个任意的随机向量，咱们使用仔细选择的矩阵对它进行变换，这样获得的随机向量就是一个白色随机向量。

这两个思想在通讯和音频领域中通道估计和通道均衡这样的应用中是很关键的。这些思想在数据压缩中也有应用。

5.1 模拟随机向量

假设随机向量 $\mathbf {x}$ 有协方差矩阵 $K_{{xx}}$ ，因为这个矩阵是共轭对称和半正定，根据线性代数中的谱定理，咱们能够用如下方法对角线或者分解矩阵，

$\,\!K_{{xx}}=E\Lambda E^{T}$

其中是特征向量的正交矩阵， $\Lambda$ 是特征值的对角矩阵。

经过对白色向量 $\mathbf {w}$ 进行下面变换咱们能够模拟这个平均为 ${\mathbf {\mu }}$ 、协方差矩阵为 $K_{{xx}}$ 的随机向量 $\mathbf {x}$ 的一阶和二阶矩量属性：

${\mathbf {x}}=H\,{\mathbf {w}}+\mu$

其中

$\,\!H=E\Lambda ^{{1/2}}$

这样，这个变换输出的指望是

${\mathbb {E}}\{{\mathbf {x}}\}=H\,{\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}\}+\mu =\mu$

协方差矩阵是

${\mathbb {E}}\{({\mathbf {x}}-\mu )({\mathbf {x}}-\mu )^{T}\}=H\,{\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}{\mathbf {w}}^{T}\}\,H^{T}=H\,H^{T}=E\Lambda ^{{1/2}}\Lambda ^{{1/2}}E^{T}=K_{{xx}}$

5.2 Whitening 随机向量

whitening 一个平均值为 ${\mathbf {\mu }}$ 、协方差矩阵为 $K_{{xx}}$ 的向量 $\mathbf {x}$ 的方法是执行下面的计算：

${\mathbf {w}}=\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})$

这样，这个变换输出的指望是

${\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}\}=\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,({\mathbb {E}}\{{\mathbf {x}}\}-{\mathbf {\mu }})=\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,(\mu -\mu )=0$

协方差矩阵

${\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}{\mathbf {w}}^{T}\}={\mathbb {E}}\{\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})^{T}E\,\Lambda ^{{-1/2}}\,\}$

$=\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,{\mathbb {E}}\{({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})^{T}\}E\,\Lambda ^{{-1/2}}\,$

$=\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,K_{{xx}}E\,\Lambda ^{{-1/2}}$

对角线化 $K_{{xx}}$ 获得：

$\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,E\Lambda E^{T}E\,\Lambda ^{{-1/2}}=\Lambda ^{{-1/2}}\,\Lambda \,\Lambda ^{{-1/2}}=I$

这样，经过上面的变换就能够将随机向量whiten成平均值为0、协方差矩阵是单位矩阵。

6. 随机信号变换

咱们将模拟和白化这两个概念推广到连续时间随机信号或者随机过程。咱们建立一个滤波器用于模拟，将白噪声注入其中，用输出信号模拟任意随机过程的一阶和二阶矩。对于白化，咱们将任意随机信号注入所选滤波器中，滤波器输出是白噪声。

6.1 模拟连续时间随机信号

将白噪声注入线性时不变滤波器中模拟任意随机过程的一阶和二阶矩

咱们可使用固定的平均值 $\mu$ 、协方差函数

$K_{x}(\tau )={\mathbb {E}}\left\{(x(t_{1})-\mu )(x(t_{2})-\mu )^{{*}}\right\}{\mbox{ where }}\tau =t_{1}-t_{2}$

和功率谱密度

$S_{x}(\omega )=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}K_{x}(\tau )\,e^{{-j\omega \tau }}\,d\tau$

模拟任何广义的稳定、连续时间随机过程 $x(t):t\in {\mathbb {R}}\,\!$

咱们可使用频域技术模拟这个信号。

因为 $K_{x}(\tau )$ 是个半正定的埃尔米特矩阵，因此 $S_{x}(\omega )$ 是实数而且当且仅当 $S_{x}(\omega )$ 知足 Paley-Wiener criterion

$\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{\frac {\log(S_{x}(\omega ))}{1+\omega ^{2}}}\,d\omega <\infty$

时能够 factored 为

$S_{x}(\omega )=|H(\omega )|^{2}=H(\omega )\,H^{{*}}(\omega )$

若是 $S_{x}(\omega )$ 是有理函数，咱们能够将它分解成极点-零点格式

$S_{x}(\omega )={\frac {\Pi _{{k=1}}^{{N}}(c_{k}-j\omega )(c_{k}^{{*}}+j\omega )}{\Pi _{{k=1}}^{{D}}(d_{k}-j\omega )(d_{k}^{{*}}+j\omega )}}$

选择最小相位(minimum phase) $H(\omega )$ 保证极点和零点都位于S面的左侧，这样咱们就可使用 $H(\omega )$ 做为滤波器的传递函数来模拟。

咱们能够构建下面的线性、非时变(time-invariant)滤波器来模拟。

${\hat {x}}(t)={\mathcal {F}}^{{-1}}\left\{H(\omega )\right\}*w(t)+\mu$

其中是有以下一阶和二阶矩属性的连续时间的白噪声：

${\mathbb {E}}\{w(t)\}=0$

${\mathbb {E}}\{w(t_{1})w^{{*}}(t_{2})\}=K_{w}(t_{1},t_{2})=\delta (t_{1}-t_{2})$

这样，结果信号 ${\hat {x}}(t)$ 与所指望的信号同样有一样的二阶矩量属性。

6.2 连续时间随机信号的白化

任意随机过程 x(t) 输入一个线性时不变滤波器，滤波器将 x(t)白化为白噪声

假设咱们有一个广义的稳定、连续时间随机过程 $x(t):t\in {\mathbb {R}}\,\!$ ，与上面定义的信号一样的平均值 $\mu$ 、协方差函数 $K_{x}(\tau )$ 和功率谱密度 $S_{x}(\omega )$ 。

咱们可使用频域技术白化这个信号，用上面的过程 factor 功率谱密度 $S_{x}(\omega )$ 。

选择最小相位 $H(\omega )$ 获得极点和零点都位于s 面左侧，这样就能够用下面的 inverse 滤波器 whiten

$H_{{inv}}(\omega )={\frac {1}{H(\omega )}}$

选择的最小相位滤波器保证逆滤波器稳定的。另外，必须保证 $H(\omega )$ 在全部 $\omega \in {\mathbb {R}}$ 上都严格为正，这样 $H_{{inv}}(\omega )$ 就不会有任何奇点。

白化过程的最终格式以下所示：

$w(t)={\mathcal {F}}^{{-1}}\left\{H_{{inv}}(\omega )\right\}*(x(t)-\mu )$

这样就是一个白色噪声随机过程，它的平均值为零、功率谱密度为

$S_{{w}}(\omega )={\mathcal {F}}\left\{{\mathbb {E}}\{w(t_{1})w(t_{2})\}\right\}=H_{{inv}}(\omega )S_{x}(\omega )H_{{inv}}^{{*}}(\omega )={\frac {S_{x}(\omega )}{S_{x}(\omega )}}=1$

注意这个功率谱密度对应于的协方差函数的δ函数。

$K_{w}(\tau )=\,\!\delta (\tau )$