[数据结构与算法-16]哈夫曼树和哈夫曼编码
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一、先掌握几个概念
先听一遍哈夫曼树的概念：给定n个权值做为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度（WPL）达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也成为哈夫曼树（Huffman Tree）。好的，知道你懵逼了，下面仍是先学习几个概念。java
1.1 什么是路径？
在一棵树中，从一个结点到另外一个结点所通过的全部结点，成为两个结点之间的路径。
好比上图这颗二叉树，从根结点A到结点H的路径，就是A、B、D、H。node
1.2 什么是路径长度？
在一棵树中，从一个结点到另外一个结点所通过的“边”的数量，成为两个结点之间的路径长度。
好比从根结点A到叶子结点H，共经历了3个边，所以路径长度为3。web
1.3 什么是结点的带权路径长度？
树的每个结点，均可以拥有本身的权重（Weight），权重在不一样算法中起到不一样的做用。结点的带权路径长度指的是该结点的路径和权重的乘积。
好比，结点G的带权路径长度为：2×8=16。算法
1.4 什么是树的带权路径长度？
在一棵树中，全部叶子结点（强调：是叶子节点）的带权路径长度之和，称为树的带权路径长度，英文缩写为WPL。
好比上面这棵树的带权路径长度WPL=3×3+3×6+2×1+2×4+2×8=53。json
二、哈夫曼树
2.1 概念
如今再听一遍哈夫曼树的概念：给定n个权值做为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度（WPL）达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也成为哈夫曼树（Huffman Tree）。这下懵逼程度已经减小了50%。下面用通俗的话来解释什么是哈夫曼树：
假设存在6个结点，这6个结点的权重从小到大排列分别为{1，3，4，6，8}。以这6个结点做为叶子结点的二叉树有无数个，好比下面随便凑两个：
树A和树B的叶子结点都是这6个结点的组合。那这跟哈夫曼树有什么关系呢？别急，咱们先计算一下树A和树B的带权路径长度，计算可得树A的WPL为46，树B的WPL为53。数学验证这6个数字组成的二叉树最小WPL就是46，所以，树A就是哈夫曼树。
如今咱们再来听一遍哈夫曼树的概念：给定n个权值做为n个叶子结点（例子里面的6个数字做为6个叶子结点），构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度（WPL）达到最小（例子里的树A），称这样的二叉树为最优二叉树，也成为哈夫曼树（Huffman Tree）。这下懵逼程度已经减小到0了。
强调：一组结点构成的哈夫曼树可不止一棵，好比例子里的这6个结点，我改为一下三种树：
这三棵树都是这6个结点对应的哈夫曼树，由于WPL值相同且都是最小，但明显不是同一棵树。数组
2.2 图解构造哈夫曼树
构造哈夫曼树的过程很简单，小学生都看得懂。
好比有一个结点数组arr = {2，7，18，3，9，25}，把每个数字当作结点的权重。
第一步，根据权重大小从小到大排序{2，3，7，9，18，25}
第二步：，构建森林，把每个叶子结点都当成一棵只有根结点的树，因而造成一个森林：
上图左边是辅助队列，按照权重大小存储，右边是叶子节点的森林。
第三步：借助辅助队列，找出最小权重的两个结点，明显就是辅助队列的前面两个，生成父结点，父节点的权重是这两个结点权重之和：
第四步：删除上一步选择的两个最小结点，把新的父结点加入到辅助队列中，并对辅助排列再次进行排列，以保证辅助队列是从小到大的：
循环操做第三步、第四步，直到辅助队列只剩下一个结点。
此时，辅助队列只有一个结点，说明整个森林已经合并成一棵树，而这棵树就是这以{2，7，18，3，9，25}为权重的6个结点所对应的哈夫曼树。对于这些中间生成的结点，是没有什么做用的，咱们作这么多计算，只是为了得到路径：
反思：其实整个过程是计算{2，7，18，3，9，25}的最小WPL，本质就是计算每一个数字的乘积因子。app
2.3 代码实现
结点类：ide
package cn.klb.datastructures.tree; /** * @Author: Konglibin * @Description: 二叉树结点类 * @Date: Create in 2020/4/10 16:06 * @Modified By: */ public class Node implements Comparable<Node> { public int id; public String data; public Node left; public Node right; public Node(int id){ this.id = id; } public Node(int id, String data) { this.id = id; this.data = data; } @Override public String toString() { return "Node{" + "id=" + id + ", data='" + data + '\'' + '}'; } @Override public int compareTo(Node o) { return this.id - o.id; } }
哈夫曼树类：svg
package cn.klb.datastructures.tree; import java.util.ArrayList; import java.util.Collections; import java.util.List; /** * @Author: Konglibin * @Description: 哈夫曼树 * @Date: Create in 2020/4/15 15:36 * @Modified By: */ public class HuffmanTree { private List<Node> nodes; public HuffmanTree(List<Node> nodes){ this.nodes = nodes; } /** * 生成哈夫曼树 * */ public void generate() { // 当nodes剩下一个结点时，说明生成完毕 while (nodes.size() > 1) { // 对结点列表进行升序排列 Collections.sort(nodes); // 取出id最小的前两个结点（把结点当作没有子结点的二叉树） Node left = nodes.get(0); Node right = nodes.get(1); // 把取出的两个结点生成新的二叉树 Node parent = new Node(left.id + right.id); parent.left = left; parent.right = right; // 删除这处理完的这两个结点 nodes.remove(left); nodes.remove(right); // 把新的二叉树添加回去 nodes.add(parent); } }
三、哈夫曼编码
3.1 背景
上面讲了一堆概念来介绍哈夫曼树，那么，哈夫曼树有什么做用呢？一个牛逼的做用就是哈夫曼编码。
好比有一句字符串：“i like like like java do you like a java”，总共40个字符（包括空格），那么，转成ASCII编码就是：[105, 32, 108, 105, 107, 101, 32, 108, 105, 107, 101, 32, 108, 105, 107, 101, 32, 106, 97, 118, 97, 32, 100, 111, 32, 121, 111, 117, 32, 108, 105, 107, 101, 32, 97, 32, 106, 97, 118, 97]，统计这个字节数组，其实总共有12种字节，用json来表示就是{32：9，97：5，100：1，101：4，117：1，118：2，105：5，121：1，106：2，107：4，108：4，111：2}。冒号前面表示某一种字节，冒号后面表示重复次数。如：32：9表示字节32出现了9次（ASCII的32表示空格，数一下字符串果真有9个空格）。
统计这个有什么用呢？仔细观察，若是我把32当作结点，把9当作这个结点的权。是否是就能够构造一个哈夫曼树了？然而这又有什么用呢？回顾刚才那句字符串，总共40个字节，若是传输的话，就传输40个字节。而计算机低层传输的就是0和1，那么总共传输40×8=320个二进制。
哈夫曼编码就是一种缩减每个字符所占用的二进制位数，把重复频率高的字符用最少的二进制位表示。听到这里，是否是跟哈夫曼树联系上了？哈夫曼编码就是一种无损压缩编码。学习
3.2 原理
就用字符串"i like like like java do you like a java"来举例，若是不压缩，总共320个二进制位。那如何进行压缩呢？
首先统计每一个字符出现的频率{32：9，97：5，100：1，101：4，117：1，118：2，105：5，121：1，106：2，107：4，108：4，111：2}，这里总共12种字符，对应12种字节。咱们把它当作12个结点，重复次数当作结点的权。而后对这12个结点构造出哈夫曼树，左路为0，右路为1，最后统计每个叶子结点的路径，获得编码。
假设有一个哈夫曼树以下：
那么，A的编码为“1”，B的编码为“01”，C的编码为“00”。
根据这个原理，这12个结点生成的编码就为：{32=01, 97=100, 100=11000, 117=11001, 101=1110, 118=11011, 105=101, 121=11010, 106=0010, 107=1111, 108=000, 111=0011}
原来的字符串对应的二进制总共320位，通过哈夫曼编码后，变成1010100010111111110010001011111111001000101111111100100101001101110001110000011011101000111100101000101111111100110001001010011011100，共133个二进制位，压缩率为（320-133）/320=58%。
解码的时候只须要根据编码表进行解码，便可恢复原样，无损解压。
3.1 代码实现
3.1.1 构造结点类
package cn.klb.datastructures.huffman; /** * @Author: Konglibin * @Description: 二叉树结点类 * @Date: Create in 2020/4/10 16:06 * @Modified By: */ public class Node implements Comparable<Node> { public int count; public Byte data; public Node left; public Node right; public Node(int count){ this.count = count; } public Node(Byte data,int count) { this.count = count; this.data = data; } @Override public String toString() { return "Node{" + "count=" + count + ", data='" + data + '\'' + '}'; } @Override public int compareTo(Node o) { return this.count - o.count; } }
3.1.2 实现哈夫曼编码/解码的类
package cn.klb.datastructures.huffman; /** * @Author: Konglibin * @Description: 实现哈夫曼编码 * @Date: Create in 2020/4/16 16:35 * @Modified By: */ import java.util.*; public class Huffman { // 哈夫曼编码表 // 在 generateCodingSchedule 方法中实例化 private Map<Byte, String> encodeSchedule = new HashMap<Byte, String>(); public Map<Byte, String> getEncodeSchedule() { return encodeSchedule; } /** * 对哈夫曼编码后的数组进行解码，返回解码后的字节数组 * * @param target * @return */ public byte[] unzip(byte[] target) { StringBuilder targetStringBuilder = new StringBuilder(); // 遍历解压前的字节数组，把每一个字节对应的二进制字符串拼接到 targetStringBuilder 中 for (int i = 0; i < target.length; i++) { boolean isLast = (i == target.length - 1);// 是否是最后一个字节 // 若是是最后一个字节，那么就不须要把最后一个字节高位的0补充完整 targetStringBuilder.append(byteToBitString(!isLast, target[i])); } // 获取解码表 Map<String, Byte> decodeSchedule = getDecodeSchedule(); // 存放targetStringBuilder截取后的字节 List<Byte> bytesList = new ArrayList<Byte>(); int count; // 遍历targetStringBuilder的全部字符的计数器 Byte b = null; // 临时存放匹配到的字节 boolean notMached = true; // 是否从targetStringBuilder中扫描到了能够匹配的二进制字符串 // 遍历targetStringBuilder全部可能长度的子字符串 for (int i = 0; i < targetStringBuilder.length(); i += count) { count = 1; notMached = true; b = null; while (notMached) { // key 会从1开始递增来扫描 String key = targetStringBuilder.substring(i, i + count); b = decodeSchedule.get(key); // 看这个 key 可不能够解码 if (b == null) { // 解码表没有对应可解码 count++; // 加长截取长度，而后再看一次能不能解码 } else { notMached = false; // 匹配到了，能够解码了 } } bytesList.add(b); } // 把list转成byte byte[] source = new byte[bytesList.size()]; for (int i = 0; i < source.length; i++) { source[i] = bytesList.get(i); } return source; } /** * 获取解码表 * * @return */ public Map<String, Byte> getDecodeSchedule() { Map<String, Byte> decodeSchedule = new HashMap<String, Byte>(); for (Map.Entry<Byte, String> entry : encodeSchedule.entrySet()) { decodeSchedule.put(entry.getValue(), entry.getKey()); } return decodeSchedule; } /** * 对传进来的源字节数组进行哈夫曼编码，返回编码后的字节数组 * * @param source * @return */ public byte[] zip(byte[] source) { // 1.根据源字节数组生成 nodes List<Node> nodes = createNodes(source); // 2.nodes生成哈夫曼树 generate(nodes); // 3.生成哈夫曼树对应的编码表 generateEncodeSchedule(nodes); // 4.对源字节数组进行编码 byte[] target = encoding(source, encodeSchedule); return target; } /** * 根据字节数组生成结点序列 nodes，其中 其中每个node的data表示字节，count表示字节重复的次数 * 好比字符串为：“I love my country” * 则，其中一个 node为：Node{count=2,data=121} 121的 ascii 对应 y * * @param bytes * @return nodes */ private List<Node> createNodes(byte[] bytes) { List<Node> nodes = new ArrayList<Node>(); // 用于临时统计 // Byte表示字节 // Integer 表示这个字节重复的次数 Map<Byte, Integer> map = new HashMap<Byte, Integer>(); // 遍历字节数组 for (byte b : bytes) { Integer count = map.get(b); // 获取字节b对应的重复次数 if (count == null) { // 若是字节b第一次出现，则如今新加入字节b map.put(b, 1); } else { // 字节 b不是第一次出现，说明又重复了一次 map.put(b, count + 1); } } // 根据统计好的 map 生成 nodes for (Map.Entry<Byte, Integer> entry : map.entrySet()) { nodes.add(new Node(entry.getKey(), entry.getValue())); } return nodes; } /** * 调整nodes为哈夫曼树 * * @param nodes * @return */ private void generate(List<Node> nodes) { // 当nodes剩下一个结点时，说明生成完毕 while (nodes.size() > 1) { // 先对结点列表进行升序排列 Collections.sort(nodes); // 取出id最小的前两个结点（把结点当作没有子结点的二叉树） Node left = nodes.get(0); Node right = nodes.get(1); // 把取出的两个结点生成新的二叉树 Node parent = new Node(left.count + right.count); parent.left = left; parent.right = right; // 删除这处理完的这两个结点 nodes.remove(left); nodes.remove(right); // 把新的二叉树添加回去 nodes.add(parent); } } /** * 获取哈夫曼树对应的编码表 */ private void generateEncodeSchedule(List<Node> nodes) { if (nodes.size() == 1) { // size == 1 才有多是哈夫曼树 if (encodeSchedule.size() == 0) { // 若是编码表键值对数量为0，说明没有编码过，执行编码 // 临时存放叶子节点的路径 StringBuilder accumulativeTag = new StringBuilder(); // 处理根结点的左子树 coding(nodes.get(0).left, '0', accumulativeTag, encodeSchedule); // 处理根结点的右子树 coding(nodes.get(0).right, '1', accumulativeTag, encodeSchedule); } } } /** * 生成编码表 * * @param node 准备处理的结点 * @param tag 若是这个结点是其父节点的左结点，则为0，反之为1 * @param accumulativeTag 走到这个结点所经历 tag 的累积拼接 */ private void coding(Node node, char tag, StringBuilder accumulativeTag, Map<Byte, String> codingSchedule) { StringBuilder path = new StringBuilder(accumulativeTag); path.append(tag); if (node != null) { // node不为空才处理 if (node.data == null) { // data == null 说明该结点不是叶子结点 // 向左递归 coding(node.left, '0', path, codingSchedule); // 向右递归 coding(node.right, '1', path, codingSchedule); } else { // data != null，说明这个node是叶子结点，能够收尾了 codingSchedule.put(node.data, path.toString()); } } } /** * 根据编码表对字节数组进行编码，返回编码后的字节数组 * * @param source * @param codingSchedule * @return */ private byte[] encoding(byte[] source, Map<Byte, String> codingSchedule) { StringBuilder targetStringBuilder = new StringBuilder(); // 对待编码字节数组进行编码，编码后的二进制拼接成字符串 for (byte b : source) { targetStringBuilder.append(codingSchedule.get(b)); // 对编码后的0101这些二进制转成字符串形式，方便后面截取 } // 后面要把targetStringBuilder对应的字符串形式进行截取，每8个二进制装进一个byte中 // 若是targetStringBuilder长度为12，那么len就为 （12+7）/8=2 int len = (targetStringBuilder.length() + 7) / 8; byte[] targetBytes = new byte[len]; int index = 0; // 把拼接好的字符串以8位为单位进行截取，把截取到的8位当作是一个字节 String targetString; for (int i = 0; i < targetStringBuilder.length(); i += 8) { if (targetStringBuilder.length() < i + 8) { // 不够8位 targetString = targetStringBuilder.substring(i); // 截取剩余的全部 } else { targetString = targetStringBuilder.substring(i, i + 8); // 截取8个 } // 把strByte转成一个byte，放到encodedBytes中 // 若是targetStringBuilder不是8的倍数，最后剩下如 0101四位，调用parseInt会把它当成 0000 0101 // parseInt("1100110", 2) returns 102，而102的补码为 01100110，前面多了一个0，因此最后一个字节在解码的时候要特别当心 targetBytes[index++] = (byte) Integer.parseInt(targetString, 2); } return targetBytes; } /** * 0xff默认为整形，二进制位最低8位是1111 1111，前面24位都是0；因此和0xff进行&运算后会变为int * toBinaryString方法有个毛病，就是二进制若是最高位为0，转为字符串时会被省略 * 好比：00000000 00000000 00000000 10011101，调用toBinaryString方法后得到的字符串为 10011101 * <p> * 若是 b = -88，根据计算机组成原理，-88 的原码为 1101 1000，反码为 1010 0111，补码为 1010 1000 * 计算机保存数字保存的都是补码，因此 -88 计算机保存的实际上是它的补码，为 1010 1000 * 若是要杠，说你看到的就是原码，那你看到的实际上是正数的补码，正数的原码反码和补码都是同样的 * <p> * b & 0xFF 使得字节类型转为int类型，加 0x100 是为了兼容正数（负数加了也没影响，由于会截取掉） * 好比：b = 88，那么补码就是 0101 1000（正数的原码、反码、补码都同样） * 执行 b & 0xFF 后变成了 00000000 00000000 00000000 01011000 * 上面说了 toBinaryString 会把前面的0全给省略了，因此执行 toBinaryString(b & 0xFF)会获得字符串 “1011000” * 但咱们要的是 01011000，因此 b & 0xFF 加上 0x100后，会变成 00000000 00000000 00000001 01011000 * 执行toBinaryString方法后就获得 “101011000”，而后再截取第一位后面的全部，获得 “01011000” * * @param flag 是否要一个完整的 8位二进制字节 * @param b * @return */ private String byteToBitString(boolean flag, byte b) { if (flag) { return Integer.toBinaryString((b & 0xFF) + 0x100).substring(1); } else { return Integer.toBinaryString((b & 0xFF)); } } }
3.1.3 测试类
@Test public void testEncode() { String content = "i like like like java do you like a java"; byte[] source = content.getBytes(); Huffman huffman = new Huffman(); byte[] target = huffman.zip(source); System.out.println("编码前：" + Arrays.toString(source)); System.out.println("编码后：" + Arrays.toString(target)); System.out.println("编码表:"+huffman.getEncodeSchedule()); System.out.println("解码表:"+huffman.getDecodeSchedule()); byte[] source1 = huffman.unzip(target); System.out.println("解码后："+Arrays.toString(source1)); }
注意：代码中private byte[] encoding(byte[] source, Map<Byte, String> codingSchedule)方法存在一个bug，当最后剩下的二进制位的从左到右第一个是0时，就会出问题。因时间关系，加上和哈夫曼编码知识点无关，有空再回来处理。