关于素数定理的一个延拓

一直以来，咱们老是在孜孜不倦地寻找素数的规律，可是，很难成功，咱们能够把素数看做人类思想没法渗透的秘密.

公元前3世纪，古希腊哲学家Eratosthenes提出了一个叫”过筛”的方法，作出了世界上第一张素数表，即按照素数的大小排列成表，把天然数按其大小一一写上去，而后，按照下列法则把合数去掉：

把1去除，首先
把2留下，而后，把2的倍数去除
把3留下，而后，把3的倍数去除
把5留下，而后，把5的倍数去除

同理，继续下去，直到把全部数要么留下，要么去除，这样，若纸上最大的数是N，则上述法则能够产生N之内素数的分布表，经过表，咱们就能够发现，随着N的变大，素数会变得愈来愈稀疏.

例如：

1~10之间有4个素数，占全体40%
1~100之间有25个素数，占全体25%
1~1000之间有168个素数，占全体16.8%
1~1000000之间有78498个素数，占全体7.8%

咱们用π(N)来表示不大于天然数N的素数的个数，则：

π(2)=1

π(3)=2

π(10)=4

π(100)=25

π(1000)=168

π(10000)=1229

π(100000000)=5761455

π(1000000000)=50847534

π(10000000000)=455052511

1792年，Gauss猜想当N充分大时，有：

π(N)~N/lnN

能够验证：

Δπ(100)=4

Δπ(1000)=24

Δπ(10000)=144

Δπ(100000000)=332751

Δπ(1000000000)=2592590

Δπ(10000000000)=20757069

δπ(100)=0.16

δπ(1000)=0.14

δπ(10000)=0.1171

δπ(100000000)=0.05775

δπ(1000000000)=0.05098

δπ(10000000000)=0.045614

1808年，Legendre提议当N很大时，有：

π(N)~N/(lnN+B),B=-1.08366

1859年，Riemann的8页纸论文：论不超过一个给定值的素数的个数，他把素数的分布最终归结为所谓的Riemann ζ function之零点问题，即：

由级数ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...(s为复变数)所定义的Riemann ζ function，若s=a+bi，那么，Riemann ζ function的全部零点，除了众所周知的负整实数外，都位于复平面中a=1/2这条直线上.

1966年，关于陈景润的证实：大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和，例如，100=23+7x11.

2002年，关于陶哲轩,格林的证实，存在任意长度的素数等差数列，即，由素数构成的等差数列能够任意长，并且有任意多组，亦即，对于任意值K(例如，1亿)，存在K个素数等差数列，K是一百亿亦可，例如，3，5，7就是由3个素数构成的等差数列，长度为3，目前，经过最早进的计算机发现的最长的素数等差数列长度是23，第一项是56211383760397，公差是44546738095860.

2013年，关于张益唐的证实：素数间的有界距离，即，存在无数个素数对(p,q)，其中每一对中的两个素数之差，即，p和q的距离，不超过七千万，即：SUP lim|Pn-Pn-1|<7x10^7(n->∞).

1742年，Goldbach致信Euler，提出2个猜测，以下：

1.任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，即，”1+1”

2.任何大于5的奇数都是3个素数之和

Euler回信表示,他相信这个猜测是正确的,但他不能证实,这个猜测便引发了许多数学家的注意，从Goldbach提出这个猜测至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功，固然曾经有人做了些具体的验证工做,例如:

6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13

有人对33x108之内且大过6之偶数一一进行验算,Goldbach猜测1都成立,但严格的数学证实尚待数学家的努力,今后,这道著名的数学难题引发了世界上成千上万数学家的注意,200年过去了,没有人证实它.Goldbach猜测由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠",人们对Goldbach猜测难题的热情,历经两百多年而不衰,世界上许许多多的数学工做者,殚精竭虑,费尽心机,然而至今仍不得其解,到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近,1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证实,得出了一个结论：每个大的偶数均可以表示为（99）,这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们因而从（9十9）开始,逐步减小每一个数里所含质数因子的个数,直到最后使每一个数里都是一个质数为止,这样就证实了Goldbach猜测,目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证实的,称为陈氏定理：任何充分大的偶数都是一个质数与一个天然数之和,然后者仅仅是两个质数的乘积,一般都简称这个结果为大偶数可表示为 “1+2”的形式,在陈景润以前,关于偶数可表示为s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称“s+t”问题)之进展状况以下:

1920年,挪威的布朗证实了“9+9”.
1924年,德国的拉特马赫证实了“7+7”.
1932年,英国的埃斯特曼证实了“6+6”.
1937年,意大利的蕾西前后证实了“5+7”,“4+9”,“3+15”,“2+366”.
1938年,苏联的布赫夕太勃证实了“5+5”.
1940年,苏联的布赫夕太勃证实了“4+4”.
1948年,匈牙利的瑞尼证实了“1+c”,其中c是一很大的天然数.
1956年,中国的王元证实了“3+4”.
1957年,中国的王元前后证实了“3+3”,“2+3”.
1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证实了“1+5”, 中国的王元证实了“1+4”.
1965年,苏联的布赫夕太勃,小维诺格拉多夫,意大利的朋比利证实了“1+3 ”.
1966年,中国的陈景润证实了“1+2 ”.

布朗筛法的思路是这样的：

即任一偶数能够写2n,这里n是一个天然数,2n能够表示为n个不一样形式的一对天然数之和：2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=...=n+n,在筛去不适合Goldbach猜测结论的全部那些天然数对以后,例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1,2,...;3j和(2n-3j),j=2,3,...;等等),若是可以证实至少还有一对天然数未被筛去,例如记其中的一对为p1和p2,那么p1和p2都是素数,即得n=p1+p2,这样Goldbach猜测就被证实了.

前一部分的叙述是很天然的想法,关键就是要证实'至少还有一对天然数未被筛去',目前世界上谁都未能对这一部分加以证实,要能证实,这个猜测也就解决了,然而,因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3,尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和,故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数类型）在参与无限次的"类别组合"时,全部可发生的种种有关联系即1+1或1+2彻底一致的出现,1+1与1+2的交叉出现（不彻底一致的出现）,同2+1或2+2的"彻底一致",2+1与2+2的"不彻底一致"等状况的排列组合所造成的各有关联系,就可导出的"类别组合"为1+1,1+1与1+2和2+2,1+1与1+2,1+2与2+2,1+1与2+2,1+2等六种方式,由于其中的1+2与2+2,1+2 两种"类别组合"方式不含1+1,因此1+1没有覆盖全部可造成的"类别组合"方式,即其存在是有交替的,至此,若可将1+2与2+2,以及1+2两种方式的存在排除,则1+1得证,反之,则1+1不成立得证,然而事实倒是：1+2 与2+2,以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数均可以表示为两个素数的和,或一个素数与两个素数乘积的和）,所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的状况）存在的基础根据,因此1+2与2+2,以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是肯定的,客观的,也便是不可排除的,因此1+1成立是不可能的,这就完全论证了布朗筛法不能证"1+1",因为素数自己的分布呈现无序性的变化,素数对的变化同偶数值的增加两者之间不存在简单正比例关系,偶数值增大时素数对值忽高忽低,能经过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗?不能!偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循,二百多年来,人们的努力证实了这一点,最后选择放弃,另找途径,因而出现了用别的方法来证实Goldbach猜测的人们,他们的努力,只使数学的某些领域获得进步,而对Goldbach猜测证实没有一点做用,Goldbach猜测本质是一个偶数与其素数对关系,表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式,是不存在的,它能够从实践上证明,但逻辑上没法解决个别偶数与所有偶数的矛盾,个别如何等于通常呢?个别和通常在质上同一,量上对立,矛盾永远存在,Goldbach猜测是永远没法从理论上,逻辑上证实的数学结论,用当代语言来叙述,Goldbach猜测有两个内容,第一部分叫作奇数的猜测,第二部分叫作偶数的猜测,奇数的猜测指出,任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和,偶数的猜测是说,大于等于4的偶数必定是两个素数的和,关于Goldbach猜测的难度我就不想再说什么了,我要说一下为何现代数学界对Goldbach猜测的兴趣不大,以及为何中国有不少所谓的民间数学家对Goldbach猜测研究兴趣很大,事实上,在1900年,Hilbert在世界数学家大会上做了一篇报告,提出了23个挑战性的问题,Goldbach猜测是第8个问题的一个子问题,这个问题还包含了黎曼猜测和孪生素数猜测,现代数学界中广泛认为最有价值的是广义黎曼猜测,若黎曼猜测成立,不少问题就都有了答案,而Goldbach猜测和孪生素数猜测相对来讲比较孤立,若单纯的解决了这两个问题,对其余问题的解决意义不是很大,因此数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时,发现一些新的理论或新的工具,“顺便”解决Goldbach猜测,例如,一个颇有意义的问题是：素数的公式,若这个问题解决,关于素数的问题应该说就不是什么问题了,为何民间数学家们如此醉心于Goldbach猜测,而不关心黎曼猜测之类的更有意义的问题呢?一个重要的缘由就是,黎曼猜测对于没有学过数学的人来讲,想读明白是什么意思都很困难,而Goldbach猜测对于小学生来讲都能读懂,数学界广泛认为,这两个问题的难度不相上下,民间数学家解决Goldbach猜测大可能是在用初等数学来解决问题,通常认为,初等数学没法解决Goldbach猜测,退一步讲,即便那天有一个牛人,在初等数学框架下解决了Goldbach猜测,有什么意义呢?这样解决,恐怕和作了一道数学课的习题的意义差很少了,当年Bernoulli兄弟向数学界提出挑战,提出了最速降线的问题,Newton用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程,Johann Bernoulli用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程,Jakob Bernoulli用比较麻烦的办法解决了这个问题,虽然Jakob Bernoulli的方法最复杂,可是在他的方法上发展出了解决这类问题的广泛办法-变分法,如今来看,Jakob Bernoulli的方法是最有意义和价值的,一样,当年Hilbert曾经宣称本身解决了费尔马大定理,但却不公布本身的方法,别人问他为何,他回答说：这是一只下金蛋的鸡,我为何要杀掉它?的确,在解决费尔马大定理的历程中,不少有用的数学工具获得了进一步发展,如椭圆曲线,模形式等,因此,现代数学界在努力的研究新的工具,新的方法,期待着Goldbach猜测这个“下金蛋的鸡”可以催生出更多的理论和工具.