为何使用四元数

转载：http://www.game798.com/html/2007-05/3689.htmhtml

好吧，我必须认可到目前为止我尚未彻底理解四元数，我一度把四元数理解为轴、角表示的4维向量，也就在下午我才从和同事的争辩中理解了四元数不彻底是角、轴这么简单，为此写点心得给那些同我同样搞了2年3D游戏的还不清楚四元数的朋友。

为何使用四元数

为了回答这个问题，先来看看通常关于旋转（面向）的描述方法－欧拉描述法。它使用最简单的x,y,z值来分别表示在x，y，z轴上的旋转角度，其取值为 0-360(或者0-2pi），通常使用roll，pitch，yaw来表示这些份量的旋转值。须要注意的是，这里的旋转是针对世界坐标系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第2、三次的转轴，简单的说，三角度系统没法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体自己就失去了任意轴的自主性，这也就致使了万向轴锁（Gimbal Lock）的问题。

还有一种是轴角的描述方法（即我一直觉得的四元数的表示法），这种方法比欧拉描述要好，它避免了 Gimbal Lock，它使用一个3维向量表示转轴和一个角度份量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,angle)，通常表示为(x,y,z,w)或者 (v,w)。但这种描述法却不适合插值。

那到底什么是Gimbal Lock呢？正如前面所说，由于欧拉描述中针对x,y,z的旋转描述是世界坐标系下的值，因此当任意一轴旋转90°的时候会致使该轴同其余轴重合，此时旋转被重合的轴可能没有任何效果，这就是Gimbal Lock，这里有个例子演示了Gimbal Lock，点击这里下载。运行这个例子，使用左右箭头改变yaw为90°，此时不论是使用上下箭头仍是Insert、Page Up键都没法改变Pitch，而都是改变了模型的roll。

那么轴、角的描述方法又有什么问题呢？虽然轴、角的描述解决了Gimbal Lock，但这样的描述方法会致使差值不平滑，差值结果可能跳跃，欧拉描述一样有这样的问题。

什么是四元数

四元数通常定义以下：

q=w+xi+yj+zk

其中w是实数，x,y,z是虚数，其中:

i*i=-1

j*j=-1

k*k=-1

也能够表示为：

q=[w,v]

其中v=(x,y,z)是矢量，w是标量，虽然v是矢量，但不能简单的理解为3D空间的矢量，它是4维空间中的的矢量，也是很是不容易想像的。

四元数也是能够归一化的，而且只有单位化的四元数才用来描述旋转（面向），四元数的单位化与Vector相似，

首先||q|| = Norm(q)=sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

由于w2 + x2 + y2 + z2=1

因此Normlize(q)=q/Norm(q)=q / sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

说了这么多，那么四元数与旋转到底有什么关系？我之前一直认为轴、角的描述就是四元数，若是是那样其与旋转的关系也不言而喻，但并非这么简单，轴、角描述到四元数的转化：

w = cos(theta/2)

x = ax * sin(theta/2)

y = ay * sin(theta/2)

z = az * sin(theta/2)

其中(ax,ay,az)表示轴的矢量，theta表示绕此轴的旋转角度，为何是这样？和轴、角描述到底有什么不一样？这是由于轴角描述的“四元组”并非一个空间下的东西，首先（ax,ay,az）是一个3维坐标下的矢量，而theta则是级坐标下的角度，简单的将他们组合到一块儿并不能保证他们插值结果的稳定性，由于他们没法归一化，因此不能保证最终插值后获得的矢量长度（通过旋转变换后两点之间的距离）相等，而四元数在是在一个统一的4维空间中，方便归一化来插值，又能方便的获得轴、角这样用于3D图像的信息数据，因此用四元数再合适不过了。

关于四元数的运算法则和推导这里有篇详细的文章介绍，重要的是一点，相似与Matrix的四元数的乘法是不可交换的，四元数的乘法的意义也相似于Matrix的乘法－能够将两个旋转合并，例如：

Q=Q1*Q2

表示Q的是先作Q2的旋转，再作Q1的旋转的结果，而多个四元数的旋转也是能够合并的，根据四元数乘法的定义，能够算出两个四元数作一次乘法须要16次乘法和加法，而3x3的矩阵则须要27运算，因此当有屡次旋转操做时，使用四元数能够得到更高的计算效率。

为何四元数能够避免Gimbal Lock

在欧拉描述中，之因此会产生Gimbal Lock是由于使用的三角度系统是依次、顺序变换的，若是在OGL中，代码可能这样：

glRotatef( angleX, 1, 0, 0)

glRotatef( angleY, 0, 1, 0)

glRotatef( angleZ, 0, 0, 1)

注意：以上代码是顺序执行，而使用的又是统一的世界坐标，这样当首先旋转了Y轴后，Z轴将再也不是原来的Z轴，而可能变成X轴，这样针对Z的变化可能失效。

而四元数描述的旋转代码多是这样：

TempQ = From Eula(x,y,z)

FinalQ =CameraQ * NewQ

theta, ax, ay, az = From (FinalQ)

glRotatef(theta, ax, ay, az);

其中(ax,ay,az)描述一条任意轴，theta描述了绕此任意轴旋转的角度，而全部的参数都来自于全部描述旋转的四元数作乘法以后获得的值，能够看出这样一次性的旋转不会带来问题。这里有个例子演示了使用四元数不会产生Gimbal Lock的问题。

关于插值

使用四元数的缘由就是在于它很是适合插值，这是由于他是一个能够规格化的4维向量，最简单的插值算法就是线性插值，公式如：

q(t)=(1-t)q1+t q2

但这个结果是须要规格化的，不然q(t)的单位长度会发生变化，因此

q(t)=(1-t)q1+t q2 / || (1-t)q1+t q2 ||

如图:

尽管线性插值颇有效，但不能以恒定的速率描述q1到q2之间的曲线，这也是其弊端，咱们须要找到一种插值方法使得q1->q(t)之间的夹角θ是线性的，即θ(t)=(1-t)θ1+t*θ2，这样咱们获得了球形线性插值函数q(t)，以下：

q(t)=q1 * sinθ(1-t)/sinθ + q2 * sinθt/sineθ

若是使用D3D，能够直接使用D3DXQuaternionSlerp函数就能够完成这个插值过程。前端

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posted @ 2016-07-31 10:40 guang_blog 阅读( 1587) 评论( 0) 编辑收藏

为何使用四元数——整体思路正确，有部分瑕疵

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