复变函数

时间 2021-07-13 标签机器学习

实变函数（高等数学）主要内容：

微积分（一元、二元、多元）
级数理论
常微分方程

复变函数：

研究对象：自变量为复数的函数
主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分
主要内容：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等。

一、复数基本知识

1.1 复数基本概念

对任意两实数x, y，称 $z=x+iy$ 或 $z=x+yi$ 为复数，其中 $i^2=-1$ ，i称为虚部

复数z的实部Re(z)=x，虚部Im(z)=y

复数的模： $|z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge0$

复数相等： $z_1=z_2 \iff x_1=x_2,y_1=y_2$ ，其中 $z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2$

$z=0\iff Re(z)=Im(z)=0$

一般两个复数不能比较大小。

1.2 共轭复数

若 $z=x+iy$ ，称 $\overline{z}=x-iy$ 为z的共轭复数。

1.3 几何表示

1.3.1 可以用点来表示：

$z=x+iy \iff$ 复平面上的点 $P(x,y)$
复平面上横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴。

1.3.2 可以用向量来表示：

$z=x+iy\iff P(x,y)\iff \overrightarrow{OP}=\{x,y\}$
可以用向量 $\overrightarrow{OP}$ 来表示 $z=x+iy$
复数的模：向量的长度 $|z|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2}$
复数的幅角：向量与正实轴之间的夹角 $\theta=Arg_z=(\overrightarrow{OP},x)$
$tan(Argz)={y\over x}$
当z=0时，幅角无意义
幅角是无穷多的： $Arg_z=\theta=\theta_0+2k\pi$
满足 $-\pi<\theta_0<\pi$ 的 $\theta_0$ 称为幅角 $Arg_z$ 的主值，记作： $\theta_0=Arg_z$

1.3.3 可以用三角来表示：

用复数的模与幅角来表示非零复数z
由 $\begin{cases}x=rcos\theta\\y=rsin\theta\end{cases}$ 得：
$z=r(cos\theta+isin\theta)$

1.3.4 用指数表示

由欧拉公式： $e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ 可得非零复数z的指数表达式：
$z=re^{i\theta}$

1.2 复数的乘幂与方根

1.2.1 复数的乘积与熵

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：
定理：设 $z_1,z_2$ 是两个非零复数：
$z_1=|z_1|(cosArg_{z_1}+isinArg_{z_1})=|z_1|e^{i(Argz_1)}$
$z_2=|z_2|(cosArg_{z_2}+isinArg_{z_2})=|z_2|e^{i(Argz_2)}$

则：
$|z_1z_2|=|z_1||z_2|,Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)$
$|{z_1\over z_2}|={|z_1|\over|z_2|}(z_2\ne0),Arg({z_1\over z_2)}=Arg(z_1)-Arg(z_2)$

乘法的几何意义：将复数 $z_1$ 按逆时针方向旋转一个角度Arg(z_2)，再将其伸缩到|z_2|倍。

1.2.2 复数的乘幂

n个相同复数z的乘积称为z的n次幂： $z^n$
$z^n=zz...z=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta)$
特别地：当 $|z|=r=1$ 时， $z^n=(cosn\theta+isinn\theta)$ ，此时有：
$(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta$
这个公式称为De Moivre公式

令 $z^{-n}={1\over z^n}$ ，则：
$z^{-n}=r^{-n}(cos(-n\theta)+isin(-n\theta))=r^{-n}e^{-in\theta}$

1.2.3 复数的方根

设 $z=re^{i\theta}$ 为已知复数，n为正整数，则称满足方程 $w^n=z$ 的所有w值为z的n次方根，记为 $w=\sqrt[n]{z}$

https://wenku.baidu.com/view/95266a772e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e29a.html

二、欧拉公式：

令 $i=\sqrt{-1}$ ，欧拉公式为：
$e^{ix}=cosx+isinx$

欧拉公式的推导用到了泰勒展开，至于 $e^{ix}$ 为什么可以泰勒展开需要证明，这里忽略：

$e^{ix}=1+ix+{(ix)^2\over 2!}+{(ix)^3\over 3}+{(ix)^4\over 4!}+{(ix)^5\over 5!}+{(ix)^6\over 6!}+...$
$\quad=1+ix-{x^2\over2!}-{ix^3\over3!}+{x^4\over4!}+{ix^5\over5!}-{x^6\over6!}$
$\quad=(1-{x^2\over2!}+{x^4\over4!}-{x^6\over6!}+...)+i(x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-...)$
$\quad=cosx+isinx$

三、复变函数的导数

3.1 导数的定义

3.2 求导公式与法则（实函数中求导法则的推广）

常数的导数 $c'=(a+ib)'=0$
$(z^n)'=nz^{n-1}$ （n是自然数）
设函数 $f(z),g(z)$ 均可导，则：
$[f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z)$
$[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$
$[{f(z)\over g(z)}]'={f'(z)g(z)-f(z)g'(z)\over g^2(z)}\quad(g(z)\ne0)$
复合函数的导数： $f[g(z)]'=f'(g(z))g'(z)$
反函数的导数： $f'(z)={1\over \phi'(w)}$ ，其中： $w=f(z)$ ，与 $z=\phi(w)$ 互为单值的反函数，且 $\phi'(w)\ne0$

注意：

复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为 $\triangle z\to0$ 是在平面区域上以任意方式趋于零的缘故。
在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是狠苦难的，但在复变函数中，却轻而易举