竞赛总分

题目描述

学生在咱们USACO的竞赛中的得分越多咱们越高兴。
咱们试着设计咱们的竞赛以便人们能尽量的多得分,这须要你的帮助。
咱们能够从几个种类中选取竞赛的题目,这里的一个"种类"是指一个竞赛题目的集合,解决集合中的题目须要相同多的时间而且能获得相同的分数。你的任务是写一个程序来告诉USACO的职员,应该从每个种类中选取多少题目,使得解决题目的总耗时在竞赛规定的时间里而且总分最大。输入包括竞赛的时间,M(1 <= M <= 10,000)(不要担忧,你要到了训练营中才会有长时间的比赛)和N,"种类"的数目1 <= N <= 10,000。后面的每一行将包括两个整数来描述一个"种类":
第一个整数说明解决这种题目能得的分数(1 <= points <= 10000),第二整数说明解决这种题目所需的时间(1 <= minutes <= 10000)。
你的程序应该肯定咱们应该从每一个"种类"中选多少道题目使得能在竞赛的时间中获得最大的分数。
来自任意的"种类"的题目数目多是任何非负数(0或更多)。
计算可能获得的最大分数。

·（看到这里感受是个背包，qwq）

输入

第 1 行: M, N--竞赛的时间和题目"种类"的数目。
第 2-N+1 行: 两个整数:每一个"种类"题目的分数和耗时。

输出

单独的一行包括那个在给定的限制里可能获得的最大的分数。

样例输入

300 4
100 60
250 120
120 100
35 20

样例输出

605

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思路

这道题目么，是让咱们求的是最大的分数，看到这个数据范围也只有二维DP。
\[ O(N^2)过万吧，没问题的。 \]

• [x] 其实我还见过

\[ O(N^2)过百万的呢。 \]
让咱们来分析这个二维DP：

题目说的竞赛时间其实转换成背包问题就是背包的容量，N表示有N件物品

每件物品有质量和体积。他说要最多，不可能只选一组的，因此这也能选一些。其实这些物品的总价值就是所给数据的答案。

因此正解是彻底背包啊。（彻底背包是什么请参考百度百科）

具体一点的呢？

等一下别急。

来说一下彻底背包。

首先先将二维的打法：

设fij仍是表示前i件物品放入一个为j容量的背包得到的最大价值,为第i件物品的是否选择的方案.

而后能够得出状态转移方程式：

当这件物品选的时候

f[i][j] = f[i][j-a[i]]+w[i];

选的时候就把a[i]这个耗时给减掉再加上得分。

当这件物品不选的时候

f[i][j] = f[i-1][j];

不选的时候就保留上一个的最优解.

因而这个代码架构就出来了。

for(int i = 1; i <= n ; i++){
        for(int j = 1; j <= m ;j++){
            if(j < a[i]) f[i][j] = f[i-1][j];
            else if(f[i-1][j] > f[i][j-a[i]]+w[i]) f[i][j] = f[i-1][j];
            else f[i][j] = f[i][j-a[i]]+w[i];
        }
    }

循环 i -> n:

​ 循环 j -> m

当j < a[i] 的时候，已经确保了最优解因而不选。

当上一个的最优解已经大于当前解的话，那么也是能够不选的。

其余状况都要选。

答案放在 fnm ,输出就能够了。

放一个简介的状态转移方程：

f[i][j]=max{f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=j}

而后再讲一维的打法：

有些时候出题人很讨厌，故意让你炸内存，让二维背包不过。

这个时候要用一维的打法的（前题是二维数组大于5000 * 5000 的时候， 二维 RE）。

其实不用i这一维度，只用j，空间复杂度大大降低了。

循环要改一下。

1 -> n 不变

​ w[i] -> m 避免重复

一维的思路：

这件物品选：

if(f[j-w[i]]+a[i] > f[j]){
    f[j] = f[j-w[i]]+a[i];
 }

当前的大于以前的则更新。

不然不干。

不选的状况：没有处理。

一维的代码架构就出来了：

for(int i = 1; i <= n ; i++){
        for(int j = w[i]; j <= m ;j++){
            if(f[j-w[i]]+a[i] > f[j]){
                f[j] = f[j-w[i]]+a[i];
            }
        }
    }

综合一下上面的状态转移方程

f[j] = max(f[j],f[j-w[i]]+a[i]);

答案存在f[m]输出就能够了。

• （确实一维要好打的多，其实同样啊）

总结

针对不一样的题目使用不一样的代码。

这道题为了内存，我仍是写了一维过了。

二维jj 91 分 ，见祖宗啊。

归根到底这只是一道彻底背包的模板题，最后以排名第一的成绩A了。

• （我太弱了，还要。。。qwq）

学习彻底背包要懂得：

• [x] 什么是动态规划。

• [x] 什么是递推算法。
• [x] 什么是记忆化搜索。

• [x] 什么是递归算法。

才能更好的理解。

End.