游戏开发基础知识之图形变换：矩阵变换

参考：http://blog.csdn.net/leaf6094189/article/details/18554549

 

1、平移

3类基本的2D图形变换。 

平移：

设某点向x方向移动 dx, y方向移动 dy ,[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

则 X = x+dx;  Y = y+dy;

以矩阵表示：

                                1    0    0

[X, Y, 1] = [x, y, 1][ 0    1    0  ] ; 

                               dx  dy   1

  1    0    0

  0    1    0   即平移变换矩阵。 

  dx  dy   1 

 

2、旋转

 

旋转：

 

 旋转相比平移稍稍复杂：

 

 设某点与原点连线和X轴夹角为b度，以原点为圆心，逆时针转过a度  , 原点与该点连线长度为R, [x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

 

  x = Rcos(b) ; y = Rsin(b);

 

  X = Rcos(a+b) = Rcosacosb - Rsinasinb = xcosa - ysina; (合角公式)

 

  Y = Rsin(a+b) = Rsinacosb + Rcosasinb = xsina + ycosa ;

 

 

 

  用矩阵表示：

 

                                cosa   sina  0

 

 [X, Y, 1] = [x, y, 1][-sina  cosa  0  ] 

 

                                 0        0     1

 

  cosa   sina  0

 

 -sina  cosa  0  为旋转变换矩阵。

 

   0       0     1 

 

3、缩放

 

缩放

 

 设某点坐标，在x轴方向扩大 sx倍，y轴方向扩大 sy倍，[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

 

 X = sx*x; Y = sy*y;

 

则用矩阵表示：

 

                                sx    0    0

 

[X, Y, 1] = [x, y, 1][ 0    sy    0  ] ; 

 

                                0     0     1

 

 sx    0    0

 

 0    sy    0  即为缩放矩阵。 

 

 0     0     1

 

 

小结

 

2D基本的模型视图变换，就只有上面这3种，全部的复杂2D模型视图变换，均可以分解成上述3个。

 

好比某个变换，先通过平移，对应平移矩阵A， 再旋转, 对应旋转矩阵B，再通过缩放，对应缩放矩阵C.

 

则最终变换矩阵 T = ABC. 即3个矩阵按变换前后顺序依次相乘(矩阵乘法不知足交换律，所以前后顺序必定要讲究)。

 

 

 

 

杂项

一、点乘：向量点乘结果为标量，点乘的两个向量必须为单位向量，结果值为 -1.0到 1.0之间，为两个向量的夹角余弦值

二、叉乘：叉乘结果为垂直于两个叉乘向量所肯定平面的向量不知足交换律