回溯法解决N皇后问题（以四皇后为例）

以4皇后为例，其余的N皇后问题以此类推。所谓4皇后问题就是求解如何在4×4的棋盘上无冲突的摆放4个皇后棋子。在国际象棋中，皇后的移动方式为横竖交叉的，所以在任意一个皇后所在位置的水平、竖直、以及45度斜线上都不能出现皇后的棋子，例子

要求编程求出符合要求的状况的个数。四皇后问题有不少种解法，这里主要介绍一种经典的解决方法：回溯法

回溯法的基本思想是：能够构建出一棵解空间树，经过探索这棵解空间树，能够获得四皇后问题的一种或几种解。这样的解空间树有四棵

在如上图所示的4×4的棋盘上，按列来摆放棋子，首先由于皇后棋子不能在同一列，因此先排除有2个或2个以上的棋子在同一列的状况，因此第一个棋子在第一列有4种摆放方法（第1列第1行，第1列第2行，第1列第3行，第1列第4行），一样第二个棋子在第二列有4种，一样第三个棋子在第三列有4种，一样第四个棋子在第四列有4种，因此进行简单的排除不在同一列的状况后，还有4×4×4×4=256种可能，可是在这256种可能里，依然存在好比棋子在同一行，或在45度斜线上的状况出现。另外一个角度思考，全部的知足四皇后问题的摆放方式必定都存在于这256种状况之中。简单的理解就是：这256种棋盘局面包含了全部知足4皇后问题的解，可是不包含所有的棋盘局面。

下面是解空间树的示例（以上一段的按列摆放的方式来进行示例讲解），其中第i层的棋盘局面是在第i-1层的棋盘局面演化而来的（1<i<4）

上面的图片是以第一个棋子在第一列的第一行而派生出的一个解空间树，最后一层会有64中结局面，同理在以第一个棋子在第1、列的第二/三/四行都分别能够派生出一个解空间树，最后一层都会有64中局面，因此有4棵解空间树，每一棵最终有64个局面，因此一共有4×64=256种局面

能够用上面的方法穷举出全部的解，再遍历穷举的全部结果找出全部符合四皇后问题的解，可是这样会很浪费。因此这里能够用到回溯法，在构建解空间树的途中进行深度优先探索，当探索到某一种棋盘局面必定不是四皇后问题的解的时候（好比出现任意两个或两个以上的棋子在同一行/同一列/45度斜线上），就能够判断这个节点向下派生出的解空间树的节点也必定不是四皇后问题的解，这样就能够避免大量的无用功。

好比上图中第二行的第一个节点出现了两个棋子在同一行的状况，因此能够判断出这个节点以及这个节点向下派生出的全部节点就再也不有必要进行遍历了，这样就会避免4+4×4次的彻底无用功的遍历，就会大大的节省时间，再去探索第二行的第二个节点……其余的同理。

这样，若是可以成功遍历到叶子节点，而且判断该叶子节点的局面就是符合4皇后问题的，那么这个节点局面就表明一个合法的四皇后问题的解。下面的图片就表明找到的一个合法的解的过程（注意图片中，虚线表明排除，黑实线表明继续向下探索） 以上图为例，当在第i层出现非法的棋盘局面时，就跳回第i-1层，继续探索第i-1层的那个节点的下一个分支；或者在第4层探索到合法的局面就进行记录并跳回上一层，继续探索下一个分支。其余三个解空间树同理。

以上图为例，就单看探索的第四层节点的个数。使用回溯法，就只需探索第4层中的4个节点，而若是使用穷举法，就要探索玩第4层的全部64个节点，显而易见，哪个方法更有效。

其实在解决四皇后问题的时候，并不必定要真的构建出这样的一棵解空间树，它彻底能够经过一个递归回溯来模拟。所谓的解空间树只是一个逻辑上的抽象。固然也能够用树结构来真实的建立出一棵解空间树，不过那样会比较浪费空间资源，也没有那个必要

解决四皇后问题的算法描述以下

#include<stdio.h>

int count = 0;
int isCorrect(int i, int j, int (*Q)[4])
{
    int s, t;
    for(s=i,t=0; t<4; t++)
        if(Q[s][t]==1 && t!=j)
            return 0;//判断行
    for(t=j,s=0; s<4; s++)
        if(Q[s][t]==1 && s!=i)
            return 0;//判断列
    for(s=i-1,t=j-1; s>=0&&t>=0; s--,t--)
        if(Q[s][t]==1)
            return 0;//判断左上方
    for(s=i+1,t=j+1; s<4&&t<4;s++,t++)
        if(Q[s][t]==1)
            return 0;//判断右下方
    for(s=i-1,t=j+1; s>=0&&t<4; s--,t++)
        if(Q[s][t]==1)
            return 0;//判断右上方
    for(s=i+1,t=j-1; s<4&&t>=0; s++,t--)
        if(Q[s][t]==1)
            return 0;//判断左下方

    return 1;//不然返回
}

void Queue(int j, int (*Q)[4])
{
    int i,k;
    if(j==4){//递归结束条件
        for(i=0; i<4; i++){
                //获得一个解，在屏幕上显示
            for(k=0; k<4; k++)
                printf("%d ", Q[i][k]);
            printf("\n");
        }
        printf("\n");
        count++;
        return ;
    }
    for(i=0; i<4; i++){
        if(isCorrect(i, j, Q)){//若是Q[i][j]能够放置皇后
            Q[i][j]=1;//放置皇后
            Queue(j+1, Q);//递归深度优先搜索解空间树
            Q[i][j]=0;//这句代码就是实现回溯到上一层
        }
    }
}

int main()
{
    int Q[4][4];
    int i, j;
    for(i=0; i<4; i++)
        for(j=0; j<4; j++)
            Q[i][j] = 0;
    Queue(0, Q);
    printf("The number of the answers are %d\n", count);
    return 0;
}