不经常使用的黑科技——「三元环」

万恶之源：

给定一张无重边、无自环的无向图（点数为$n$，边数为$m$，且$n,m$同阶），问有多少个无序三元组$(i,j,k)$，使得存在：

1. 有一条链接$i,j$的边

2. 有一条链接$j,k$的边

3. 有一条链接$k,i$的边

举个例子：

这张图中有三个三元环：$(1,2,3),(1,3,4),(3,4,5)$

有一个显然的基于度数的乱搞的作法（本人并无写过……），能够在这里阅读到：jiachin_zhao [hdu 6184 Counting Stars](三元环计数)

这里介绍一种十分优秀的三元环计数方法：

首先要对全部的无向边进行定向，对于任何一条边，从度数大的点连向度数小的点，若是度数相同，从编号小的点连向编号大的点

此时这张图是一个有向无环图

以后枚举每个点$u$，而后将$u$的全部相邻的点都标记上“被$u$访问了”，而后再枚举$u$的相邻的点$v$，而后再枚举$v$的相邻的点$w$，若是$w$存在“被$u$访问了”的标记，那么$(u,v,w)$就是一个三元环了

并且每一个三元环只会被计算一次

那么如今就只须要证实三件事：

1. 定向后的图是一个有向无环图

以上图为例，用$deg_u$表示$u$在原图中的度数，则$deg_a \ge deg_b \ge deg_c \ge deg_d \ge deg_e \ge deg_a$

既$deg_a=deg_b=deg_c=deg_d=deg_e=deg_a$

对于度数相同的点，是按照编号从小到大连边的，则$a \le b \le c \le d \le e \le a$

既$a=b=c=d=e$

然而点的编号是$1 \sim n$的全排列，所以不会产生如上的事情，既不存在环

因为这张图有向，并且没有环，所以这张图就是有向无环图

2. 时间复杂度是$O(m  \sqrt m)$（在此认为$n,m$同阶）

对于“打标记”这个操做，每一个点都会将全部的出边遍历一遍，那么这里的时间复杂度为$O(n+m)$

对于访问$u$，而后访问$v$，而后访问$w$，能够这么考虑：对于每条边（$u \rightarrow v$），对时间复杂度的贡献为$out_v$​，其中$out_v$表示$v$的出边个数

这样就转化为了求$\sum_{i=1}^{n}out_i$

不妨将$out_v$分类讨论

1. $out_v \le \sqrt m$​，那么因为$u$链接$v$，所以$deg_u \ge deg_v$​，这样的uu的个数是$O(n)$的，所以这里的时间复杂度为$O(n \sqrt m)$

2. $out_v \gt \sqrt m$，那么因为$u$链接$v$，所以$deg_u \ge deg_v$，既$deg_u \gt \sqrt m$​，这样的$u$的个数是$O(\sqrt m)$的，所以这里的时间复杂度为$O(\sqrt m m)=O(m \sqrt m)$

所以时间复杂度为$O(n+m+n\sqrt m+m\sqrt m)=O(m \sqrt m)$

3. 每一个三元环只会被统计一次

三元环在有向无环图上无非就长这样：

也只能且只会在$u$处被计算一次

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N = 1e5 + 10;
 4 vector<int> g[N];
 5 int deg[N], vis[N], n, m, ans;
 6 struct E { int u, v; } e[N * 3];
 7 int main() {
 8     scanf("%d%d", &n, &m);
 9     for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {
10         scanf("%d%d", &e[i].u, &e[i].v);
11         ++ deg[e[i].u], ++ deg[e[i].v];
12     }
13     for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {
14         int u = e[i].u, v = e[i].v;
15         if(deg[u] < deg[v] || (deg[u] == deg[v] && u > v)) swap(u, v);
16         g[u].push_back(v);
17     }
18     for(int x = 1 ; x <= n ; ++ x) {
19         for(auto y: g[x]) vis[y] = x;
20         for(auto y: g[x])
21             for(auto z: g[y])
22                 if(vis[z] == x)
23                     ++ ans;
24     }
25     printf("%d\n", ans);
26 }

一个样例程序