什么是散列表（Hash Table）

散列表（Hash table，也叫哈希表），是根据键（Key）而直接访问在内存存储位置的数据结构。也就是说，它经过计算一个关于键值的函数，将所需查询的数据映射到表中一个位置来访问记录，这加快了查找速度。这个映射函数称作散列函数，存放记录的数组称作散列表。

一个通俗的例子是，为了查找电话簿中某人的号码，能够建立一个按照人名首字母顺序排列的表（即创建人名 x 到首字母 F(x) 的一个函数关系），在首字母为W的表中查找“王”姓的电话号码，显然比直接查找就要快得多。这里使用人名做为关键字，“取首字母”是这个例子中散列函数的函数法则F()，存放首字母的表对应散列表。关键字和函数法则理论上能够任意肯定。

1.基本概念

• 若关键字为 k，则其值存放在f(k) 的存储位置上。由此，不需比较即可直接取得所查记录。称这个对应关系 f 为散列函数，按这个思想创建的表为散列表。
• 对不一样的关键字k可能获得同一散列地址，即

$$ k1≠k2 $$

，而

$$ f(k1)=f(k2) $$

，这种现象称为冲突（或碰撞，英语：Collision）。具备相同函数值的关键字对该散列函数来讲称作同义词。综上所述，根据散列函数f(k) 和处理冲突的方法将一组关键字映射到一个有限的连续的地址集（区间）上，并以关键字在地址集中的“像”做为记录在表中的存储位置，这种表便称为散列表，这一映射过程称为散列造表或散列，所得的存储位置称散列地址。

• 若对于关键字集合中的任一个关键字，经散列函数映象到地址集合中任何一个地址的几率是相等的，则称此类散列函数为均匀散列函数（Uniform Hash function），这就使关键字通过散列函数获得一个“随机的地址”，从而减小冲突。

2.构造散列函数的方法

散列函数能使对一个数据序列的访问过程更加迅速有效，经过散列函数，数据元素将被更快定位。

• 直接定址法：取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。即

$$ hash(k)=k $$

或

$$ hash(k)=a \cdot k+b $$

, 其中ab为常数（这种散列函数叫作自身函数）

• 数字分析法：假设关键字是以r为基的数，而且哈希表中可能出现的关键字都是事先知道的，则可取关键字的若干数位组成哈希地址。
• 平方取中法：取关键字平方后的中间几位为哈希地址。一般在选定哈希函数时不必定能知道关键字的所有状况，取其中的哪几位也不必定合适，而一个数平方后的中间几位数和数的每一位都相关，由此使随机分布的关键字获得的哈希地址也是随机的。取的位数由表长决定。
• 折叠法：将关键字分割成位数相同的几部分（最后一部分的位数能够不一样），而后取这几部分的叠加和（舍去进位）做为哈希地址。
• 除留余数法：取关键字被某个不大于散列表表长m的数p除后所得的余数为散列地址。即

$$ hash(k)=k\,{\bmod {\,}}p $$

$$ p\leq m $$

不只能够对关键字直接取模，也可在折叠法、平方取中法等运算以后取模。对p的选择很重要，通常取素数或m，若p选择很差，容易产生冲突。

3.处理冲突

为了知道冲突产生的相同散列函数地址所对应的关键字，必须选用另外的散列函数，或者对冲突结果进行处理，而不发生冲突的可能性是很是之小的，因此一般对冲突进行处理。经常使用方法有如下几种：

开放寻址法(open addressing)。想象一下，有一趟对号入座的火车，假设它只有一节车箱，上来一位坐7号座位的旅客。过了一下子，又上来一位旅客，他买到的是一张假票，也是7号座位，这时怎么办呢？列车长想了想，让拿假票的旅客去坐8号座位。过了一下子，应该坐8号座位的旅客上来了，列车长对他说8号座位已经有人了，你去坐9号座位吧。哦？9号早就有人了？10号也有人了？那你去坐11号吧。能够想见，越到后来，当空座愈来愈少时，碰撞的概率就越大，寻找空座愈发地费劲。可是，若是是火车的上座率只有50%或者更少的状况呢？也许真正坐8号座位的乘客永远不会上车，那么让拿假票的乘客坐8号座位就是一个很好的策略了。因此，这是一个空间换时间的游戏。玩好这个游戏的关键是，让旅客分散地坐在车箱里。如何才能作到这一点呢？答案是，对于每位不一样的旅客使用不一样的探查序列。例如，对于旅客 A，探查座位 7，8，23，56……直到找到一个空位；对于旅客B，探查座位 25，66，77，1，3……直到找到一个空位。若是有 m 个座位，每位旅客可使用 <0, 1, 2, ..., m-1> 的m! 个排列中的一个。

显而易见，最好减小两个旅客使用相同的探查序列的状况。也就是说，但愿把每位旅客尽可能分散地映射到 m! 种探查序列上。换句话说，理想状态下，若是可以让每一个上车的旅客，使用 m! 个探查序列中的任意一个的可能性是相同的，咱们就说实现了一致散列。（这里没有用“随机”这个词儿，由于实际是不可能随机取一个探查序列的，由于在查找这名旅客时还要使用相同的探查序列）。

线性探查：最简单的方法是，若是发现 values[8] 已经被占用了，就看看 values[9] 是否空着，若是 values[9] 也被占用了，就看看 values[0] 是否是还空着。完整的描述是，先使用 H() 函数获取 k 的第一个地址，若是这个地址已被占用，就探查下一个紧挨着的地址，若是仍是不能用，就探查下一个紧挨着的地址，若是到达了数组的末尾，就卷绕到数组的开头，若是探查了 m 次仍是没有找到空槽，就说明数组已经满了，这就是线性探查（linear probing）

真正的一致散列是难以实现的，实践中，经常采用它的一些近似方法。经常使用的产生探查序列的方法有：线性探查，平方探测，以及双重散列探查。这些方法都不能实现一致散列，由于它们能产生的不一样探查序列数都不超过

$$ m^2 $$

个（一致散列要求有 m! 个探查序列）。在这三种方法中，双重散列能产生的探查序列数最多，于是能给出最好的结果。

显示线性探测填装一个散列表的过程：

关键字为{89,18,49,58,69}插入到一个散列表中的状况。此时线性探测的方法是取

$$ d_{i}=i $$

并假定取关键字除以10的余数为散列函数法则。

第一次冲突发生在填装49的时候。地址为9的单元已经填装了89这个关键字，因此取 $i=1$，往下查找一个单位，发现为空，因此将49填装在地址为0的空单元。

第二次冲突则发生在58上，取i=3，往下查找3个单位，将58填装在地址为1的空单元。69同理。
表的大小选取相当重要，此处选取10做为大小，发生冲突的概率就比选择质数11做为大小的可能性大。越是质数，mod取余就越可能均匀分布在表的各处。

汇集（Cluster，也翻译作“堆积”）的意思是，在函数地址的表中，散列函数的结果不均匀地占据表的单元，造成区块，形成线性探测产生一次汇集（primary clustering）和平方探测的二次汇集（secondary clustering），散列到区块中的任何关键字须要查找屡次试选单元才能插入表中，解决冲突，形成时间浪费。对于开放定址法，汇集会形成性能的灾难性损失，是必须避免的。

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