[Link-Cut-Tree][BZOJ2631]Tree

题面

Description:

一棵\(n\)个点的树，每一个点的初始权值为\(1\)。对于这棵树有\(q\)个操做，每一个操做为如下四种操做之一：

• + u v c：将\(u\)到\(v\)的路径上的点的权值都加上天然数\(c\)；
• - u1 v1 u2 v2：将树中原有的边\(u1-v1\)删除，加入一条新边\(u2-v2\)，保证操做完以后仍然是一棵树；
• * u v c：将\(u\)到\(v\)的路径上的点的权值都乘上天然数\(c\)；
• / u v：询问\(u\)到\(v\)的路径上的点的权值和，求出答案对于\(51061\)的余数。

Input

第一行两个整数\(n,q\)
接下来\(n-1\)行每行两个正整数\(u,v\)，描述这棵树
接下来\(q\)行，每行描述一个操做

Output

对于每一个/对应的答案输出一行

Sample Input

3 2
1 2
2 3
* 1 3 4
/ 1 1

Sample Output

4

HINT

100%的数据保证，\[1\le n,q\le 100000,1\le u,v,u1,v1,u2,v2\le n,0\le c\le 100001\]

Link-cut Tree 的做用&思想

• 做用：相似于动态树链剖分（能够修改点、边）

• 思想：用链的思想，把树剖为多个伸展树

  树与树之间只保存父关系，不保存子关系。

  树链剖分把树分红若干条重链，对于每条重链，用线段树来维护信息。利用各线段树的信息来获得答案。

Link-cut Tree 的基本操做

1.access(u):把u到根节点变成一条链

u是当前点，v是前驱

其实就是一层一层往上爬，每次顺带修改链上的儿子

void access(int u){
    for(int v=0;u;v=u,u=fa[u]){
        splay(u);
        ch[u][1]=v;
        pushup(u);
    }
}

2.makeroot(u):把u变成根

access+splay后，u已是根，可splay的路径上须要进行父子反向，其余的没有影响，所以要进行翻转

void makeroot(int u){
    access(u);
    splay(u);
    reverse(u);
}

3.cut(u,v):切断u,v之间的链接

咱们先makeroot(u)+access(v)+splay(v)

因为u和v同在一棵Splay中且u必定是v的父亲，因此Splay中v的左儿子必定是u，断开便可。

void cut(int a,int b){
    makeroot(a);
    access(b);
    splay(b);
    ch[b][0]=0;
    fa[a]=0;
    pushup(b);
}

4.link(u,v):链接u,v

把u变成根，这时u没有父亲，就能够安心链接了。再把其父亲设为v，就实现了链接。

void link(int a,int b){
    makeroot(a);
    fa[a]=b;
}

5.isconnect(u,v):检测u,v是否链接

咱们先makeroot(u)+access(v)+splay(v)

若是u和v不在同一棵LCT中，执行makeroot(u)后，u的父亲应该为空(他是根)

除非a和b在同一棵树中，在access(v)+splay(v)后，u与v应该在同一棵Splay中，既然v是根，那么u就不是根，即u必定有一个父亲存在。

bool isconnect(int a,int b){
    if(a==b) return true;
    makeroot(a);
    access(b);
    splay(b);
    return fa[a];
}

---

代码

注意有多个修改中懒标的特殊处理方式。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int ch[100001][2],fa[100001],siz[100001],lazr[100001],cnt,n,q;
unsigned num[100001],tot[100001],lazp[100001],lazc[100001],mod=51061;
inline unsigned rd(){
    unsigned re=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        re=re*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return re;
}
inline bool isroot(int bt){return ch[fa[bt]][0]!=bt&&ch[fa[bt]][1]!=bt;}
inline int drct(int bt){return ch[fa[bt]][1]==bt;}
inline void pushup(int bt){siz[bt]=siz[ch[bt][0]]+siz[ch[bt][1]]+1;tot[bt]=((tot[ch[bt][0]]+num[bt])%mod+tot[ch[bt][1]])%mod;}
inline void reverse(int bt){swap(ch[bt][0],ch[bt][1]);lazr[bt]^=1;}
inline void add(int bt,unsigned c){num[bt]=(num[bt]+c)%mod;tot[bt]=(tot[bt]+siz[bt]*c)%mod;lazp[bt]=(lazp[bt]+c)%mod;}
inline void times(int bt,unsigned c){num[bt]=(num[bt]*c)%mod;tot[bt]=(tot[bt]*c)%mod;lazc[bt]=(lazc[bt]*c)%mod;lazp[bt]=(lazp[bt]*c)%mod;}
inline void pd(int bt){
    if(lazr[bt]){
        if(ch[bt][0])reverse(ch[bt][0]);
        if(ch[bt][1])reverse(ch[bt][1]);
        lazr[bt]=0;
    }
    if(lazp[bt]){
        if(ch[bt][0])add(ch[bt][0],lazp[bt]);
        if(ch[bt][1])add(ch[bt][1],lazp[bt]);
        lazp[bt]=0;
    }
    if(lazc[bt]!=1){
        if(ch[bt][0])times(ch[bt][0],lazc[bt]);
        if(ch[bt][1])times(ch[bt][1],lazc[bt]);
        lazc[bt]=1;
    }
}
inline void pushdown(int u){
    if(!isroot(u))pushdown(fa[u]);
    pd(u);
}
inline void rotate(int u){
    int f=fa[u],g=fa[f],c=drct(u);
    if(!isroot(f))ch[g][drct(f)]=u;
    fa[u]=g;
    ch[f][c]=ch[u][c^1];
    if(ch[f][c])fa[ch[f][c]]=f;
    ch[u][c^1]=f;
    fa[f]=u;
    pushup(f);
    pushup(u);
}
void splay(int u){
    pushdown(u);
    while(!isroot(u)){
        if(!isroot(fa[u]))rotate(drct(fa[u])==drct(u)?fa[u]:u);
        rotate(u);
    }
}
void access(int u){
    for(int v=0;u;v=u,u=fa[u]){
        splay(u);
        ch[u][1]=v;
        pushup(u);
    }
}
void makeroot(int u){
    access(u);
    splay(u);
    reverse(u);
}
void link(int a,int b){
    makeroot(a);
    fa[a]=b;
}
void cut(int a,int b){
    makeroot(a);
    access(b);
    splay(b);
    ch[b][0]=0;
    fa[a]=0;
    pushup(b);
}
void makeline(int u,int v){
    makeroot(u);
    access(v);
    splay(v);
}
int main(){
    n=rd();
    q=rd();
    for(int i=1;i<=n;i++)lazc[i]=num[i]=tot[i]=siz[i]=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u=rd(),v=rd();
        link(u,v);
    }
    makeroot(1);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        char cha[5];
        scanf("%s",cha);
        int u=rd(),v=rd();
        if(cha[0]=='+'){
            unsigned c=rd();
            makeline(u,v);
            add(v,c);
        }else if(cha[0]=='-'){
            int u2=rd(),v2=rd();
            cut(u,v);
            link(u2,v2);
        }else if(cha[0]=='*'){
            unsigned c=rd();
            makeline(u,v);
            times(v,c);
        }else if(cha[0]=='/'){
            makeline(u,v);
            printf("%u\n",tot[v]);
        }
    }
}