LSTM系列的梯度问题

1.前沿

本文主要围绕NN、RNN、LSTM和GRU，讨论后向传播中所存在的梯度问题，以及解决方法，力求深入浅出。

2.神经网络开始

神经网络包括前向过程和后向过程，前向过程定义网络结构，后向过程对网络进行训练（也就是优化参数），经过多轮迭代得到最终网络（参数已定）
我们先来分析一个非常简单的三层神经网络：

数据集 D=(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym) $D=(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)$

2.1前向过程：

在输入层，假设该层节点数为d，也就是特征x的维度， xi $x_i$作为该层输出；

在隐藏层中，该层节点数为q，每个节点的输入 αh ${\alpha }_h$就是上一层所有节点输出 xi $x_i$的线性组合值，该节点的输出 bh是αj $b_h是{\alpha }_j$的激活值，这里假设使用sigmoid激活函数；

在输出层，该层节点数为l，也就是输出y的维度，同理，每个节点的输入 βj ${\beta }_j$是 bh $b_h$ 的线性组合值，输出 y′j是βj的激活值 $y_j^{\prime }是{\beta }_j的激活值$，根据不同任务选择不同激活函数，比如二分类任务一般是用sigmoid激活函数把 y′j限制到[0,1]之间。 $y_j^{\prime }限制到[0,1]之间。$

2.2后向过程

1）首先我们根据网络输出和真实Label来定义Loss函数，这里定义为简单的均方误差：

Ek=12∑lj=1(y′j−yj)2 $E_k=\frac{1}{2}\underset{j=1}{\overset{l}{\sum }}(y_j^{\prime }-y_j{)}^2$

那么我们的目标就是最小化Loss，调整参数 w_{hj} 和 v_{ih} ，使得网络尽量去拟合真实数据。如何求最小值？那当然是求导了，根据loss函数对参数求导，然后往梯度下降的方向去更新参数，可以降低loss值。梯度主宰更新，如果梯度太小，会带来梯度消失问题，导致参数更新很慢；那如果梯度很大，又会造成梯度爆炸问题。

2）对于输出层参数 wij，E对whj $w_{ij}，E对w_{hj}$进行链式求导，也就是，E先对节点的输出 y′j $y_j^{\prime }$求导，再对节点的输入 βj ${\beta }_j$ 求导，最后 对 whj $w_{hj}$求导，结果为：
∂E∂whj=∂E∂y′j∂y′j∂βj∂βj∂whj=(y′j−yj)⋅y′j(1−y′j⋅bh $\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{w}_{hj}}=\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}\frac{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}{\mathrm{\partial }{\beta }_j}\frac{\mathrm{\partial }{\beta }_j}{\mathrm{\partial }{w}_{hj}}=(y_j^{\prime }-y_j)\cdot y_j^{\prime }(1-y_j^{\prime }\cdot b_h$

这里我们令 gj=(y′j−yj)⋅y′j(1−y′j) $g_j=(y_j^{\prime }-y_j)\cdot y_j^{\prime }(1-y_j^{\prime })$，就可以得到参数 whj $w_{hj}$的更新量为：

Δwhj=−η⋅gj⋅bh $\mathrm{\Delta }{w}_{hj}=-\eta \cdot g_j\cdot b_h$

3）对于隐藏层参数 vih $v_{ih}$，也是链式求导，E先对该层节点的输出 bj $b_j$求导，再对节点的输入 αj ${\alpha }_j$求导，最后对 vih $v_{ih}$求导，其实在前面我们已经求出了部分梯度，最后结果为：
∂E∂vih=∂E∂bh∂bh∂αh∂αh∂vih=(∑lj=1∂E∂y′j∂y′j∂βj∂βj∂bh)⋅∂bh∂αh⋅∂αh∂vih $\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{v}_{ih}}=\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{b}_h}\frac{\mathrm{\partial }{b}_h}{\mathrm{\partial }{\alpha }_h}\frac{\mathrm{\partial }{\alpha }_h}{\mathrm{\partial }{v}_{ih}}=(\underset{j=1}{\overset{l}{\sum }}\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}\frac{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}{\mathrm{\partial }{\beta }_j}\frac{\mathrm{\partial }{\beta }_j}{\mathrm{\partial }{b}_h})\cdot \frac{\mathrm{\partial }{b}_h}{\mathrm{\partial }{\alpha }_h}\cdot \frac{\mathrm{\partial }{\alpha }_h}{\mathrm{\partial }{v}_{ih}}$

注意到， ∂E∂y′j∂y′j∂βj $\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}\frac{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}{\mathrm{\partial }{\beta }_j}$ 其实我们刚刚求过，其实就是 gj $g_j$ 这货，因此我们可得：
∂E∂vih=(∑lj=1gj⋅whj)⋅bh(1−bh)⋅xi $\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{v}_{ih}}=(\underset{j=1}{\overset{l}{\sum }}{g}_j\cdot w_{hj})\cdot b_h(1-b_h)\cdot x_i$

再次令 eh=(∑lj=1gj⋅whj)⋅bh(1−bh)  $e_h=(\underset{j=1}{\overset{l}{\sum }}{g}_j\cdot w_{hj})\cdot b_h(1-b_h)$，可以得到 vih $v_{ih}$ 的更新量为：

Δvih=−η⋅eh⋅xi $\mathrm{\Delta }{v}_{ih}=-\eta \cdot e_h\cdot x_i$

也就可以愉快地将更新 vih=vih+Δvih $v_{ih}=v_{ih}+\mathrm{\Delta }{v}_{ih}$了。

2.3 等等，事情好像并没有这么简单

1） gj $g_j$ ：这是上一层传递过来的梯度，如果上一层的梯度本来已经很小，那么在这一层进行相乘，会导致这一层的梯度也很小。所以如果网络层比较深，那么在链式求导的过程中，越是低层的网络层梯度在连乘过程中可能会变得越来越小，导致梯度消失。

2） whj $w_{hj}$：这是这一层的权重，这一项是造成梯度爆炸的主要原因，如果权重很大，也可能会导致相乘后的梯度也比较大。（梯度爆炸不是问题，做个梯度裁剪就行了，对梯度乘以一个缩放因子，我们主要考虑的是梯度消失问题）

3） bh(1−bh) $b_h(1-b_h)$：这是sigmoid激活函数的导数，sigmoid激活值本身已经是一个比较小的数了，这两个小于1的数相乘会变得更小，就可能会造成梯度消失。

我们直接来看sigmoid的这个图吧，只有在靠近0的区域梯度比较大（然而也不会超过0.25），在接近无穷小或者无穷大的时候梯度几乎是0了：

所以sigmoid是造成梯度消失的一个重要原因，激活函数其实是为了引入了非线性操作，使得神经网络可以逼近非线性函数。因此如果不是输出层必须要用sigmoid来限制输出范围，我一般是不用sigmoid的。

那么从激活函数出发，缓解梯度消失有以下方法：
1）不行就换，比如把sigmoid换成relu，在x>0的时候可以稳稳维持1的梯度。

2）不想换那也行，既然我们知道sigmoid在靠近0的取值范围内梯度比较大，但我们可以把数据尽量规范化到一个比较合适的范围，也就是接下来要谈到的Normaliztion。

3. 从RNN到LSTM再到GRU

接下来我们再探讨一下RNN系列，也就是展开型的神经网络。

3.1 RNN

RNN是最简单的循环神经网络，其实就是对神经网络展开k个step，所有step共享同一个神经网络模块S，我们还是直接来看图吧：

这是一个序列预测任务，可以看到在RNN中 W_s 和 W_x这两个参数是共享的，注意噢：这里也有个共享的W_o ，但不是包含在RNN中的，只是用于序列预测而已。

在step t下，RNN的输出向量 st $s_t$ 是：

st=tanh(Wxxt+Wsst−1+b) $s_t=tanh(W_x{x}_t+W_s{s}_{t-1}+b)$

接下来 Wo和st $W_o和s_t$ 进行相乘得到step t下的预测值 ot $o_t$（加激活函数也可以）。假设step t 的正确label是 yt $y_t$，我们现在还是将Loss函数定义为均方误差：
E=12∑Tt=1(yt−ot)2 $E=\frac{1}{2}\underset{t=1}{\overset{T}{\sum }}(y_t-o_t{)}^2$.

现在我们来看看怎么更新W_x，可以看到在step t 下，计算 o_t 不仅涉及到了step t下的W_x ，也涉及到了前面step下的W_x，来看这个反向传播路径图：

因此在step t下， Et对wx $E_t对w_x$求导需要对前面所有step的 Wx $W_x$依次进行求导，再加起来：

∂Et∂Wx=∑ti=1∂Et∂ot∂ot∂st(∏tj=i+1∂sj∂sj−1)∂si∂Wx $\frac{\mathrm{\partial }{E}_t}{\mathrm{\partial }{W}_x}=\underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{\mathrm{\partial }{E}_t}{\mathrm{\partial }{o}_t}\frac{\mathrm{\partial }{o}_t}{\mathrm{\partial }{s}_t}(\underset{j=i+1}{\overset{t}{\prod }}\frac{\mathrm{\partial }{s}_j}{\mathrm{\partial }{s}_{j-1}})\frac{\mathrm{\partial }{s}_i}{\mathrm{\partial }{W}_x}$

注意到有一个硕大的连乘符号，事情好像又开始变得不简单起来，我们来继续求导下去，在RNN中 s的激活函数是tanh函数：

∏tj=i+1∂sj∂sj−1=∏tj=i+1tanh′⋅Ws $\underset{j=i+1}{\overset{t}{\prod }}\frac{\mathrm{\partial }{s}_j}{\mathrm{\partial }{s}_{j-1}}=\underset{j=i+1}{\overset{t}{\prod }}tan{h}^{\prime }\cdot W_s$

路和前面的神经网络是一样的！这里又涉及到了激活函数的梯度，以及网络的其它权重 Ws $W_s$，而tanh其实只是将sigmoid的范围从[0, 1]变到[-1, 1]而已：

另外，我们从矩阵的角度来看， ∂sj∂sj−1 $\frac{\mathrm{\partial }{s}_j}{\mathrm{\partial }{s}_{j-1}}$ 是个Jacobian矩阵（向量对向量求导），如果矩阵值太大显然会带来梯度爆炸（这个不是重点），重点是如果值比较小，而且又经过矩阵连乘，梯度值迅速收缩，最后可能会造成梯度消失。

刚刚我们推导了 W_x的梯度， W_s其实也是一样的，这里不再重复推导。而 W_o，前面讲到它不是属于RNN的，但是我们也不妨来推导一下：

∂EtWo=∂Et∂ot⋅∂ot∂Wo $\frac{\mathrm{\partial }{E}_t}{W_o}=\frac{\mathrm{\partial }{E}_t}{\mathrm{\partial }{o}_t}\cdot \frac{\mathrm{\partial }{o}_t}{\mathrm{\partial }{W}_o}$

咦！没错，在step t下， ot $o_t$只和这个step的 Wo $W_o$有关，和前面step的 Wo $W_o$都没关系，所以 Wo $W_o$的梯度对我们并没有什么威胁。

3.2 LSTM出场

上面讲到，RNN的梯度问题是产生于 ∏tj=i+1∂sj∂sj−1 $\underset{j=i+1}{\overset{t}{\prod }}\frac{\mathrm{\partial }{s}_j}{\mathrm{\partial }{s}_{j-1}}$ 这一项，LSTM作为RNN的改进版本，改进了共享的神经网络模块，引入了cell结构，其实也是为了在这一项中保持一定的梯度，把连乘操作改为连加操作。

LSTM相信很多人看过这个：[译] 理解 LSTM 网络，但是我发现cs231n的公式更加简洁，把四个门层结构的权重参数合成一个W

求导过程比较复杂，我们先看一下c_t这一项：

ct=ft⋅ct−1+it⋅gt $c_t=f_t\cdot c_{t-1}+i_t\cdot g_t$

和前面一样，我们来求一下 ∂ct∂ct−1 $\frac{\mathrm{\partial }{c}_t}{\mathrm{\partial }{c}_{t-1}}$，这里注意 ft，it和gt $f_t，i_t和g_t$都是

和前面一样，我们来求一下 ∂ct∂ct−1 $\frac{\mathrm{\partial }{c}_t}{\mathrm{\partial }{c}_{t-1}}$，这里注意 ft，it和gt $f_t，i_t和g_t$都是 和gt $f_t，i_t和g_t$都是 ct−1 $c_{t-1}$的复合函数：

∂ct∂ct−1