详解什么是平衡二叉树（AVL）（修订补充版）

时间  2019-12-07
标签 详解 什么 平衡 二叉树 avl 修订 补充 栏目 应用数学 繁體版
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前言

Wiki:在计算机科学中，AVL树是最先被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，所以它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏状况下的时间复杂度都是 O(logn）。增长和删除元素的操做则可能须要借由一次或屡次树旋转，以实现树的从新平衡。AVL 树得名于它的发明者 G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中公开了这一数据结构。php

1 为何要有平衡二叉树

二叉搜索树必定程度上能够提升搜索效率，可是当原序列有序时，例如序列 A = {1，2，3，4，5，6}，构造二叉搜索树如图 1.1。依据此序列构造的二叉搜索树为右斜树，同时二叉树退化成单链表，搜索效率下降为 O(n)。node

图 1.1

在此二叉搜索树中查找元素 6 须要查找 6 次。c++

二叉搜索树的查找效率取决于树的高度，所以保持树的高度最小，便可保证树的查找效率。一样的序列 A，将其改成图 1.2 的方式存储，查找元素 6 时只需比较 3 次，查找效率提高一倍。数据结构

图 1.2

能够看出当节点数目必定，保持树的左右两端保持平衡，树的查找效率最高。函数

这种左右子树的高度相差不超过 1 的树为平衡二叉树。动画

2. 定义

平衡二叉查找树：简称平衡二叉树。由前苏联的数学家 Adelse-Velskil 和 Landis 在 1962 年提出的高度平衡的二叉树，根据科学家的英文名也称为 AVL 树。它具备以下几个性质：this

  1. 能够是空树。
  2. 假如不是空树，任何一个节点的左子树与右子树都是平衡二叉树，而且高度之差的绝对值不超过 1。

平衡之意，如天平，即两边的份量大约相同。spa

例如图 2.1 不是平衡二叉树，由于节点 60 的左子树不是平衡二叉树。3d

图 2.1

图 2.2 也不是平衡二叉树，由于虽然任何一个节点的左子树与右子树都是平衡二叉树，但高度之差已经超过 1 。指针

图 2.2

图 2.3 是平衡二叉树。

图 2.3

3. 平衡因子

**定义：**某节点的左子树与右子树的高度(深度)差即为该节点的平衡因子（BF,Balance Factor），平衡二叉树中不存在平衡因子大于 1 的节点。在一棵平衡二叉树中，节点的平衡因子只能取 0 、1 或者 -1 ，分别对应着左右子树等高，左子树比较高，右子树比较高。

图 3.1

图 3.2

图 3.3

4. 节点结构

定义平衡二叉树的节点结构：

typedef struct AVLNode *Tree;

typedef int ElementType;

struct AVLNode{

    int depth; //深度，这里计算每一个节点的深度，经过深度的比较可得出是否平衡

    Tree parent; //该节点的父节点

    ElementType val; //节点值

    Tree lchild;

    Tree rchild;
  
    AVLNode(int val=0) {
        parent = NULL;
        depth = 0;
        lchild = rchild = NULL;
        this->val=val;
    }
};
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5. AVL树插入时的失衡与调整

图 5.1 是一颗平衡二叉树

图 5.1

在此平衡二叉树插入节点 99 ，树结构变为：

动图 5.2

在动图 5.2 中，节点 66 的左子树高度为 1，右子树高度为 3，此时平衡因子为 -2，树失去平衡。

在动图 5.2 中，以节点 66 为父节点的那颗树就称为 最小失衡子树。

最小失衡子树：在新插入的节点向上查找，以第一个平衡因子的绝对值超过 1 的节点为根的子树称为最小不平衡子树。也就是说，一棵失衡的树，是有可能有多棵子树同时失衡的。而这个时候，咱们只要调整最小的不平衡子树，就可以将不平衡的树调整为平衡的树。

平衡二叉树的失衡调整主要是经过旋转最小失衡子树来实现的。根据旋转的方向有两种处理方式，左旋 与 右旋 。

旋转的目的就是减小高度，经过下降整棵树的高度来平衡。哪边的树高，就把那边的树向上旋转。

5.1 左旋

图 5.1.1

以图 5.1.1 为例，加入新节点 99 后， 节点 66 的左子树高度为 1，右子树高度为 3，此时平衡因子为 -2。为保证树的平衡，此时须要对节点 66 作出旋转，由于右子树高度高于左子树，对节点进行左旋操做，流程以下：

（1）节点的右孩子替代此节点位置 （2）右孩子的左子树变为该节点的右子树 （3）节点自己变为右孩子的左子树

整个操做流程如动图 5.1.2 所示。

动图 5.1.2

  • 节点的右孩子替代此节点位置 —— 节点 66 的右孩子是节点 77 ，将节点 77 代替节点 66 的位置
  • 右孩子的左子树变为该节点的右子树 —— 节点 77 的左子树为节点 75，将节点 75 挪到节点 66 的右子树位置
  • 节点自己变为右孩子的左子树 —— 节点 66 变为了节点 77 的左子树

5.2 右旋

右旋操做与左旋相似，操做流程为：

（1）节点的左孩子表明此节点 （2）节点的左孩子的右子树变为节点的左子树 （3）将此节点做为左孩子节点的右子树。

动图 5.2.1

6. AVL树的四种插入节点方式

假设一颗 AVL 树的某个节点为 A，有四种操做会使 A 的左右子树高度差大于 1，从而破坏了原有 AVL 树的平衡性。平衡二叉树插入节点的状况分为如下四种：

图 6.0

具体分析以下：

6.1 A的左孩子的左子树插入节点(LL)

只须要执行一次右旋便可。

动图 6.1

实现代码以下：

//LL型调整函数
//返回:新父节点
Tree LL_rotate(Tree node){
    //node为离操做节点最近的失衡的节点
    Tree parent=NULL,son;
    //获取失衡节点的父节点
    parent=node->parent;
    //获取失衡节点的左孩子
    son=node->lchild;
    //设置son节点右孩子的父指针
    if (son->rchild!=NULL)  son->rchild->parent=node;
    //失衡节点的左孩子变动为son的右孩子
    node->lchild=son->rchild;
    //更新失衡节点的高度信息
    update_depth(node);
    //失衡节点变成son的右孩子
    son->rchild=node;
    //设置son的父节点为原失衡节点的父节点
    son->parent=parent;
    //若是失衡节点不是根节点，则开始更新父节点
    if (parent!=NULL){
        //若是父节点的左孩子是失衡节点，指向如今更新后的新孩子son
        if (parent->lchild==node){
            parent->lchild=son;
        }else{
             //父节点的右孩子是失衡节点
              parent->rchild=son;
        }
     }
    //设置失衡节点的父亲
    node->parent=son;
    //更新son节点的高度信息
    update_depth(son);
    return son;
}

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6.2 A的右孩子的右子树插入节点(RR)

只须要执行一次左旋便可。

动图 6.2

实现代码以下：

//RR型调整函数
//返回新父节点
Tree RR_rotate(Tree node){
    //node为离操做节点最近的失衡的节点
    Tree parent=NULL,son;
    //获取失衡节点的父节点
    parent=node->parent;
    //获取失衡节点的右孩子
    son=node->rchild;
    //设置son节点左孩子的父指针
    if (son->lchild!=NULL){
          son->lchild->parent=node;
    }
    //失衡节点的右孩子变动为son的左孩子
    node->rchild=son->lchild;
    //更新失衡节点的高度信息
    update_depth(node);
    //失衡节点变成son的左孩子
    son->lchild=node;
    //设置son的父节点为原失衡节点的父节点
    son->parent=parent;
    //若是失衡节点不是根节点，则开始更新父节点
    if (parent!=NULL){
        //若是父节点的左孩子是失衡节点，指向如今更新后的新孩子son
        if (parent->lchild==node){
            parent->lchild=son;
        }else{
            //父节点的右孩子是失衡节点
            parent->rchild=son;
        } 
    }
    //设置失衡节点的父亲
    node->parent=son;
    //更新son节点的高度信息
    update_depth(son);
    return son;
}
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6.3 A的左孩子的右子树插入节点(LR)

若 A 的左孩子节点 B 的右子树 E 插入节点 F ，致使节点 A 失衡，如图：

图 6.3

A 的平衡因子为 2 ，若仍按照右旋调整，则变化后的图形为这样：

图 6.3.1

通过右旋调整发现，调整后树仍然失衡，说明这种状况单纯的进行右旋操做不能使树从新平衡。那么这种插入方式须要执行两步操做，使得旋转以后为 原来根节点的左孩子的右孩子做为新的根节点。

（1）对失衡节点 A 的左孩子 B 进行左旋操做，即上述 RR 情形操做。 （2）对失衡节点 A 作右旋操做，即上述 LL 情形操做。

调整过程以下：

图 6.3.2

图 6.3.3

也就是说，通过这两步操做，使得 原来根节点的左孩子的右孩子 E 节点成为了新的根节点。

代码实现：

//LR型，先左旋转，再右旋转
//返回：新父节点
Tree LR_rotate(Tree node){
    RR_rotate(node->lchild);
    return LL_rotate(node);
}
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6.4 A的右孩子的左子树插入节点(RL)

右孩子插入左节点的过程与左孩子插入右节点过程相似，也是须要执行两步操做，使得旋转以后为 原来根节点的右孩子的左孩子做为新的根节点。

（1）对失衡节点 A 的右孩子 C 进行右旋操做，即上述 LL 情形操做。 （2）对失衡节点 A 作左旋操做，即上述 RR 情形操做。

图 6.4

图 6.4.1

图 6.4.2

也就是说，通过这两步操做，使得 原来根节点的右孩子的左孩子 D 节点成为了新的根节点。

代码实现：

//RL型，先右旋转，再左旋转
//返回:新父节点
Tree RL_rotate(Tree node){
    LL_rotate(node->rchild);
    return RR_rotate(node);
}
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补充：

上述四种插入方式的代码实现的辅助代码以下：

//更新当前深度
void update_depth(Tree node){
    if (node==NULL){
        return;
    }else{
        int depth_Lchild=get_balance(node->lchild); //左孩子深度
        int depth_Rchild=get_balance(node->rchild); //右孩子深度
        node->depth=max(depth_Lchild,depth_Rchild)+1;
    }
}

//获取当前节点的深度
int get_balance(Tree node){
    if (node==NULL){
         return 0;
    }
    return node->depth;
}

//返回当前平衡因子
int is_balance(Tree node){
    if (node==NULL){
         return 0;
    }else{
         return get_balance(node->lchild)-get_balance(node->rchild); 
    }
}
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6.5 小总结

  1. 在全部的不平衡状况中，都是按照先 寻找最小不平衡树，而后 寻找所属的不平衡类别，再 根据 4 种类别进行固定化程序的操做。
  2. LL , LR ，RR ，RL其实已经为咱们提供了最后哪一个节点做为新的根指明了方向。如 LR 型最后的根节点为原来的根的左孩子的右孩子，RL 型最后的根节点为原来的根的右孩子的左孩子。只要记住这四种状况，能够很快地推导出全部的状况。
  3. 维护平衡二叉树，最麻烦的地方在于平衡因子的维护。建议读者们根据小吴提供的图片和动图，本身动手画一遍，这样能够更加感性的理解操做。

7. AVL树的四种删除节点方式

AVL 树和二叉查找树的删除操做状况一致，都分为四种状况：

（1）删除叶子节点 （2）删除的节点只有左子树 （3）删除的节点只有右子树 （4）删除的节点既有左子树又有右子树

只不过 AVL 树在删除节点后须要从新检查平衡性并修正，同时，删除操做与插入操做后的平衡修正区别在于，插入操做后只须要对插入栈中的弹出的第一个非平衡节点进行修正，而删除操做须要修正栈中的全部非平衡节点。

删除操做的大体步骤以下：

  • 之前三种状况为基础尝试删除节点，并将访问节点入栈。
  • 若是尝试删除成功，则依次检查栈顶节点的平衡状态，遇到非平衡节点，即进行旋转平衡，直到栈空。
  • 若是尝试删除失败，证实是第四种状况。这时先找到被删除节点的右子树最小节点并删除它，将访问节点继续入栈。
  • 再依次检查栈顶节点的平衡状态和修正直到栈空。

对于删除操做形成的非平衡状态的修正，能够这样理解：对左或者右子树的删除操做至关于对右或者左子树的插入操做，而后再对应上插入的四种状况选择相应的旋转就行了。

7.1 删除叶子节点

处理步骤：

①、将该节点直接从树中删除；

②、其父节点的子树高度的变化将致使父节点平衡因子的变化，经过向上检索并推算其父节点是否失衡；

③、若是其父节点未失衡，则继续向上检索推算其父节点的父节点是否失衡...如此反复②的判断，直到根节点 ；若是向上推算过程当中发现了失衡的现象，则进行 ④ 的处理；

④、若是其父节点失衡，则判断是哪一种失衡类型 [LL、LR、RR、RL] ，并对其进行相应的平衡化处理。若是平衡化处理结束后，发现与原来以父节点为根节点的树的高度发生变化，则继续进行 ② 的检索推算；若是与原来以父节点为根节点的高度一致时，则可说明父节点的父节点及祖先节点的平衡因子将不会有变化，所以能够退出处理；

动图 7.1.1

具体数字演示：

动图 7.1

7.2 & 7.3 删除的节点只有左子树或右子树

处理步骤：

①、将左子树（右子树）替代原有节点 C 的位置；

②、节点 C 被删除后，则以 C 的父节点 B 为起始推算点，依此向上检索推算各节点（父、祖先）是否失衡；

③、若是其父节点未失衡，则继续向上检索推算其父节点 的父节点 是否失衡...如此反复 ② 的判断，直到根节点 ；若是向上推算过程当中发现了失衡的现象，则进行 ④ 的处理；

④、若是其父节点失衡，则判断是哪一种失衡类型 [LL、LR、RR、RL] ，并对其进行相应的平衡化处理。若是平衡化处理结束后，发现与原来以父节点为根节点的树的高度发生变化，则继续进行 ② 的检索推算；若是与原来以父节点为根节点的高度一致时，则可说明父节点的父节点及祖先节点的平衡因子将不会有变化，所以能够退出处理；

动图 7.2

7.4 删除的节点既有左子树又有右子树

处理步骤：

①、找到被删节点 B 和替代节点 BLR (节点 B 的前继节点或后继节点 —— 在此选择 前继)；

②、将替代节点 BLR 的值赋给节点 B ，再把替代节点 BLR 的左孩子 BLRL 替换替代节点 BLR 的位置；

③、以 BLR 的父节点 BL 为起始推算点，依此向上检索推算父节点或祖先节点是否失衡；

④、若是其父节点未失衡，则继续向上检索推算其父节点的父节点是否失衡...如此反复③的判断，直到根节点；若是向上推算过程当中发现了失衡的现象，则进行⑤的处理；

⑤、若是其父节点失衡，则判断是哪一种失衡类型 [LL、LR、RR、RL] ，并对其进行相应的平衡化处理。若是平衡化处理结束后，发现与原来以父节点为根节点的树的高度发生变化，则继续进行 ② 的检索推算；若是与原来以父节点为根节点的高度一致时，则可说明父节点的父节点及祖先节点的平衡因子将不会有变化，所以能够退出处理；

动图 7.4

注：在这里，小吴并无给出 AVL 的删除操做的代码，也没有给出平衡性修复的动画，由于我并不打算过多去讨论它，更复杂的删除操做过程将放在后续的 红黑树 中进行讨论。

总结

经过对 AVL 的插入操做和删除操做能够看出，平衡二叉树的优点在于不会出现普通二叉查找树的最差状况，即退化成链表结构，但为了保证高度平衡（对称），动态插入和删除的代价也随之增长。

AVL 的旋转问题看似复杂，但实际上若是你亲自用笔纸操做一下仍是很好理解的。

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