JavaScript 实现最长非降低子序列

题目

首先先引一道动态规划的经典问题 最长非降低子序列 它的定义是: 设有由n个不相同的整数组成的数列b[n],如有下标i1<i2<···<iL 且 b[i1]<b[i2]<···<b[iL] 则称存在一个长度为L的不降低序列。

例如：

13,7,9,16,38,24,37,18,44,19,21,22,63,15

那么就有13<16<38<44<63长度为5的不降低子序列。 可是通过观察实际上还有7<9<16<18<19<21<22<63长度为8的不降低子序列，那么是否还有更长的不降低子序列呢？请找出最长的不降低子序列

要求实现一个方法，输入参数是一个数组，返回最长的非降低子序列

实现思路

假如要求得某一段的最优，就要想更小段的最优怎么求，再看看由最小段的最优可否扩大推广到最大段的最优;

假设这么一个表

序列下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
序列数值	13	7	9	16	38	24	37	18	44	19	21	22	63	15
序列长度	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
连接位置	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1

第三行表示该序列元素的所能链接的最长不降低子序列的长度，由于自己长度为1，因此初始值都为1. 第四行表示连接于哪一个序列元素造成最长不降低子序列

再看倒数第三项22，在它的后面有2项，所以必需要在这2项当中找出比22大，长度又是最长的数值做为连接，因为只有22<63,因此修改22的长度为2，即自身长度加上所连接数值的长度，并修改连接位置为12，也就是63的下标。

再看倒数第四项21，在它的后面有3项，所以必需要在这3项当中找出比21大，长度又是最长的数值做为连接(注意:是长度)，很容易看出，数值22知足该条件，所以，修改21的长度为3，并修改连接位置为11，即22的序列下标。

依次类推，最后结果以下表:

序列下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
序列数值	13	7	9	16	38	24	37	18	44	19	21	22	63	15
序列长度	7	8	7	6	3	4	3	5	2	4	3	2	1	1
连接位置	3	2	3	7	8	6	8	9	12	10	11	12	-1	-1

最终状态的转移方程式为: 且 \(f(i)=maxf(j)+1(b_j<b_i且i<j)\) .时间复杂度为O(n^2)

JavaScript 实现

function getLongAscArr(inputArr) {
        var numArr = [1];
        var idxArr = [-1];
        var len = inputArr.length;
        for (var l = len - 1; l--;) {
            var num = 1;
            var idx = -1;
            var nLen = numArr.length;
            for (var i = 0; i < nLen; i++) {
                var nIdx = l en - nLen + i;
                if (inputArr[l] <= i nputArr[nIdx]) {
                    if (numArr[i] >= num) {
                        num = numArr[i] + 1;
                        idx = nIdx;
                    }
                }
            }
            numArr.unshift(num);
            idxArr.unshift(idx);
        }
        var max = numArr[0];
        var idx = 0;
        for (var i = 1; i < numArr.length; i++) {
            if (numArr[i] > max) {
                max = numArr[i];
                idx = i;
            }
        }
        var ascArr = [];
        while (idx > -1) {
            ascArr.push(inputArr[idx]);
            idx = idxArr[idx];
        }
        return ascArr;
    }
    var arr = [13, 7, 9, 16, 38, 24, 37, 18, 44, 19, 21, 22, 63, 15];
    console.log(getLongAscArr(arr));

参考资料

https://xxsxjh.github.io/2017/02/02/Dynamic-1/