https://www.zybuluo.com/ysner/note/1242342
##题面 某人在玩一个很是神奇的游戏。这个游戏中有一个左右各$n$个点的二分图，图中的边会按照必定的规律随机出现。 为了描述这些规律，某人将这些边分到若干个组中。每条边只属于一个组。 有且仅有如下三类边的分组：(用$t$表示）node
- 这类组每组只有一条边，该条边刚好有$50%$的几率出现。
- 这类组每组刚好有两条边，这两条边有$50%$的几率同时出现，有$50%$ 的几率同时不出现。
- 这类组每组刚好有两条边，这两条边刚好出现一条，各有$50%$的几率出现。
组和组之间边的出现都是彻底独立的。 某人如今知道了边的分组和组的种类，询问完美匹配数量的指望是多少，输出$2^nE$（$E$指指望）ios
- $20pts\ n\leq10$
- $5pts\ t=0,m=n^2$
- $15pts\ t=0$
- $100pts\ n\leq15$ ##解析 其实没有注意到某$5pts$的选手仍是很。。。
能够把题目转化一下，应用映射思想，把左边点一一配对的右边点的顺序视做一个序列。(容许不配对） 如左$1$配右$2$,左$2$配右$4$，左$3$不配，左$4$配右$1$。 造成序列为$24_1$。 ###$5pts\ m=n^2$ 很显然这个（映射）序列能够是全排列。 边的总方案数$2^m$，完美匹配方案数$n!2^{m-n}$，则$$E=\frac{n!2^{m-n}}{2^m}=\frac{n!}{2^n}$$ 最后$ans=n!$ ###$20pts$算法 咱们能够枚举一下点完美匹配的方案，再统计方案数。算法
可是怎么反映边与边之间的关系呢？ 这一点能够联想一下网络流的技巧：拆点。 第一类不用说。 第二类两条边的编号相同。 第三类两条边的编号差$m$。 依此，在检验合法性时，若$i$与$i+m$同时存在即不合法; 在统计方案数时,在该匹配下$i$与$i+m$均未用到，则该组边出不出现皆可，该匹配下方案数$*2$。网络
最后，边出现的总方案数为$2^m$，完美匹配方案数为$ans$，则指望为$E=\frac{ans}{2^m}$ 最终答案为$$\frac{ans*2^n}{2^m}$$ 复杂度$O(n!m)$url
il void check()
{
memset(b,0,sizeof(b));
fp(i,1,n) b[p[i]]=1;
re ll sum=1;
fp(i,1,m)
{
if(b[i]&&b[i+m]) return;
if(!b[i]&&!b[i+m]) (sum*=2)%=mod;
}
(ans+=sum)%=mod;
}
il void dfs(re int x)
{
if(x>n) {check();return;}
fp(i,1,n)
if(!vis[i]&&id[x][i])
{
p[x]=id[x][i];vis[i]=1;
dfs(x+1);
vis[i]=0;
}
}
int main()
{
n=gi();m=gi();
if(m==n*n)
{
ans=1;
fp(i,1,n) (ans*=i)%=mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
if(n<=10)
{
fp(i,1,m)
{
re int t=gi(),u=gi(),v=gi(),u1,v1;
if(t) u1=gi(),v1=gi();
if(t==0) id[u][v]=i;
if(t==1) id[u][v]=id[u1][v1]=i;
if(t==2) id[u][v]=i,id[u1][v1]=i+m;
}
dfs(1);
printf("%lld\n",ans*ksm(ksm(2,m),mod-2)%mod*ksm(2,n)%mod);
}
return 0;
}
###$40pts$算法 其实我不太会？？？ ###$100pts$算法 把双边组看作互不干扰的、出现几率为$50%$的边。若是这样，第二类组合边出现几率会少算 $25%$（同时出现的几率为$25%$)，第三类组合边出现几率会多算$25%$(只出现一条的几率为$50%$)。咱们能够分别为这两组建$+25%,-25%$的边将这个几率抵消（由于各组独立）。spa
举个例子，在第二类中，两条边同时出现的几率为$50%*50%+25%=50%$,不一样时出现的几率为$1-25%-(50%*50%)=50%$，符合要求。.net
而后记忆化搜索，$f[S]$表示$S$集合内的点的完美匹配的指望方案数，为了保证选边的有序性并同时减小状态数，$f[S]$由$f[S1]$转移过来时，要求$S$最高位比$S1$的最高位高。code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int mod=1e9+7,N=10000,inv2=mod+1>>1,inv4=mod+1>>2;
struct node
{
int s,w;
il node(){s=w=0;}
il node(re int x,re int y){s=x,w=y;}
}a[N];
int tot,n,m;
map<int,int>f[1<<16];
il int gi()
{
re int x=0,t=1;
re char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
il int dfs(re int S)
{
if(!S) return 1;
re int T0=S>>n,S0=S^(T0<<n);
if(f[S0].count(T0)) return f[S0][T0];
re int &tmp=f[S0][T0];
fp(i,1,tot)
{
re int T=a[i].s;
if((T&S)==T&&S<(T<<1)) (tmp+=1ll*dfs(S^T)*a[i].w%mod)%=mod;
}
return tmp;
}
int main()
{
n=gi();m=gi();
fp(i,1,m)
{
re int t=gi(),u=gi(),v=gi(),u1,v1;
re int S1=(1<<(u-1))|(1<<(v+n-1));
a[++tot]=node(S1,inv2);
if(t)
{
u1=gi(),v1=gi();
re int S2=(1<<u1-1)|(1<<v1+n-1);
a[++tot]=node(S2,inv2);
if(S1&S2) continue;
if(t==1) a[++tot]=node(S1|S2,inv4);
if(t==2) a[++tot]=node(S1|S2,mod-inv4);
}
}
//printf("%d\n",tot);
printf("%lld\n",(1ll<<n)*dfs((1ll<<(2*n))-1)%mod);
return 0;
}