正整数最优分解问题

1、 题目

　　 最优分解问题

2、 问题描述

设n是一个正整数。如今要求将n分解为若干互不相同的天然数的和，且使这些天然数的乘积最大。

算法设计：对于给定的正整数n，计算最优分解方案。

数据输入：由文件 input.txt 提供输入数据。文件的第一行是正整数n。

结果输出：将计算出的最大乘积输出到文件output.txt。

输入文件示例	输出文件示例
input.txt	output.txt
10	30

3、 算法基本思想

先对整数分解分析能够发现以下结论：

若 a + b = const，则 |a - b| 越小，a·b越大。

根据原问题的描述，须要将正整数n分解为若干互不相同的天然数的和，同时又要使天然数的乘积最大。当n<4 时对n的分解的乘积是小于n的；当n大于或等于4时，n = 1 + (n-1)因子的乘积也是小于n的，因此n = a + (n-a), 2≤a≤n-2，能够保证乘积大于n，即越分解乘积越大。

所以基于以前发现的结论和上面的分析，能够采用以下贪心策略：将n分红从2开始的连续天然数的和，若是最后剩下一个数，将此数在后项优先的方式下均匀地分给前面各项。

该贪心策略首先保证了正整数所分解出的因子之差的绝对值最小，即|a - b|最小；同时又能够将其分解成尽量多的因子，且因子的值较大，确保最终所分解的天然数的乘积能够取得最大值。

4、 算法实现（C语言）

 1 /************************************************* 
 2     File Name:  optimal_decomposition.cpp 
 3     Functions:    最优分解问题求解
 4                 将正整数n分解为若干个天然数的和，
 5                 使这些天然数的乘积最大。
 6     Author:        Jeccey     
 7     Created:     Jeccey
 8     Last Change: 2013-07-03 
 9 **************************************************/
10 
11 #include <stdio.h>
12 #include <stdlib.h>
13 #include <string.h>
14 
15 const int MAX = 51;     
16 int a[MAX - 1];        //记录所分解的天然数        
17 
18 int PIntdecomp(int n);
19 
20 int main()
21 {
22     int n;
23     char ch;
24 
25 
26     FILE *fp1, *fp2;
27     if( (fp1=fopen("input.txt","r")) == NULL){
28         printf("cannot open file!\n");
29         exit(0);    
30     }
31     fscanf(fp1,"%d",&n);
32 
33     memset(a, 0, MAX*sizeof(int));
34 
35     if( (fp2=fopen("output.txt","w")) == NULL){
36         printf("cannot open file!\n");
37         exit(0);    
38     }
39     fprintf(fp2,"%d\n",PIntdecomp(n));
40 
41     return 0;    
42 }
43 
44 /**************************************************** 
45     Function name:    PIntedecomp 
46     Description: 将正整数n分解为若干个天然数的和，
47                 保证所分解天然数的乘积最大并返回。 
48     Arguments:    n (int类型，且n<=437)
49 
50     Returns:    mresult, int 类型
51                 n所分解的天然数的乘积，返回0表示错误 
52 *****************************************************/
53 int PIntdecomp(int n)
54 {
55     int k,j,mresult;
56     
57     if (n < 1 )        //非正整数返回0 
58         return 0;    
59     if (n < 5)        //若n<5，结果是其自己 
60         return n;
61     else{            //若 n>= 5 
62         k = 0;
63         a[k] = 2;
64         n -= 2;
65         /* 贪心策略：先从2开始分红连续天然数的和 */
66         for (; n > a[k]; ){
67             a[++k] = a[k-1] + 1;
68             n -= a[k];
69         }
70         /* 若是剩下一个数，将其按后项优先的方式
71         均匀分给前面各项 */ 
72         if (n == a[k]){
73             a[k]++;
74             n--;
75         }
76         for (j = 0; j < n; j++){
77             a[k-j]++;
78         }
79         /* 计算连乘积 */ 
80         for(mresult = 1, j = 0; j <= k; j++){
81             mresult *= a[j];
82         }
83         
84         return mresult;
85     }        
86 }

View Code

 

5、关于天然数因子可重复状况

　　n<4  ——  乘积＜ｎ

　　ｎ≥４——　１.　１和（ｎ－１）→乘积＜ｎ，无效；

　　　　　　　　２.　ａ和（ｎ－ａ），且　２≤ａ≤ｎ－２，分解使乘积增长（能够证实）。

　　若因子大于４则继续分解，直至ａ和（ｎ－ａ）都小于４。

　　所以最终分解结果：全是２或３；又３×３＞２×２×２，因此有三个２换成两个３。

最终结果：“Ｍ个３”或“Ｍ个３和一个２”或“Ｍ个三和两个２”

即　Ｒ＝３＾Ｍ　或　Ｒ＝（３＾Ｍ）×２或　Ｒ＝（３＾Ｍ）×４