2020年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目测试
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A题 炉温曲线blog
在集成电路板等电子产品生产中，须要将安装有各类电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，经过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程当中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量相当重要。目前，这方面的许多工做是经过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在经过机理模型来进行分析研究。ci
回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分红4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区（如图1所示）。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。数学
图1 回焊炉截面示意图产品
某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每一个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。table
回焊炉启动后，炉内空气温度会在短期内达到稳定，此后，回焊炉方可进行焊接工做。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不作特殊的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在25ºC。class
在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，能够经过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175ºC（小温区1~5）、195ºC（小温区6）、235ºC（小温区7）、255ºC（小温区8~9）及25ºC（小温区10~11）；传送带的过炉速度为70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30ºC时开始工做，电路板进入回焊炉开始计时。基础
实际生产时能够经过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度能够进行±10ºC范围内的调整。调整时要求小温区1~5中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区10~11中的温度保持25ºC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。csv
在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应知足必定的要求，称为制程界限（见表1）。
表1 制程界限
| 界限名称 |
最低值 |
最高值 |
单位 |
| 温度上升斜率 |
0 |
3 |
ºC/s |
| 温度降低斜率 |
-3 |
0 |
ºC/s |
| 温度上升过程当中在150ºC~190ºC的时间 |
60 |
120 |
s |
| 温度大于217ºC的时间 |
40 |
90 |
s |
| 峰值温度 |
240 |
250 |
ºC |
请大家团队回答下列问题：
问题1 请对焊接区域的温度变化规律创建数学模型。假设传送带过炉速度为78 cm/min，各温区温度的设定值分别为173ºC（小温区1~5）、198ºC（小温区6）、230ºC（小温区7）和257ºC（小温区8~9），请给出焊接区域中心的温度变化状况，列出小温区三、六、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度，画出相应的炉温曲线，并将每隔0.5 s焊接区域中心的温度存放在提供的result.csv中。
问题2 假设各温区温度的设定值分别为182ºC（小温区1~5）、203ºC（小温区6）、237ºC（小温区7）、254ºC（小温区8~9），请肯定容许的最大传送带过炉速度。
问题3 在焊接过程当中，焊接区域中心的温度超过217ºC的时间不宜过长，峰值温度也不宜太高。理想的炉温曲线应使超过217ºC到峰值温度所覆盖的面积（图2中阴影部分）最小。请肯定在此要求下的最优炉温曲线，以及各温区的设定温度和传送带的过炉速度，并给出相应的面积。
图2 炉温曲线示意图
问题4 在焊接过程当中，除知足制程界限外，还但愿以峰值温度为中心线的两侧超过217ºC的炉温曲线应尽可能对称（参见图2）。请结合问题3，进一步给出最优炉温曲线，以及各温区设定的温度及传送带过炉速度，并给出相应的指标值。