动态规划：LC121.买卖股票的最佳时机

题目描述：
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。 若是你最多只容许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。 注意：你不能在买入股票前卖出股票。

思路：

动态规划的 5 个步骤：

一、设定状态

这道题实际上是一个典型的二维 dp 问题。「动态规划」用于多阶段最优化问题的求解。这里天数表明每一个阶段，即一天一天看，设置为第一维。为了消除后效性（前面的状态肯定下来之后不会由于后面状态而更改），将当天是否持股设置为第二维的状态。因而：

状态 dp[i][j] 表示：在下标为 i 的这一天，用户手上持股状态为 j 所得到的最大利润。

说明： j 只有 2 个值：0 表示不持股（特指卖出股票之后的不持股状态），1 表示持股。 「用户手上不持股」不表明用户必定在下标为 i 的这一天把股票抛售了；

二、思考状态转移方程

• dp[i][0] 怎样转移？

dp[i - 1][0] ：固然能够从昨天不持股转移过来，表示从昨天到今天什么都不操做，这一点是显然的；

dp[i - 1][1] + prices[i]：昨天持股，就在下标为 i 的这一天，我卖出了股票，状态由 1 变成了 0，此时卖出股票，所以加上这一天的股价。

综上：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);

• dp[i][1] 怎样转移？

dp[i - 1][1] ：昨天持股，今天什么都不操做，固然能够从昨天持股转移过来，这一点是显然的；

-prices[i]：注意：状态 1 不能由状态 0 来，由于事实上，状态 0 特指：「卖出股票之后不持有股票的状态」，请注意这个状态和「没有进行过任何一次交易的不持有股票的状态」的区别。

所以，-prices[i] 就表示，在下标为 i 的这一天，执行买入操做获得的收益。注意：由于题目只容许一次交易，所以不能加上 dp[i - 1][0]。

综上：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i]);

三、考虑初始值

第 0 天不持股，显然 dp[0][0] = 0；

第 0 天持股，显然dp[0][1] = -prices[0]。

四、考虑输出

从状态转移方程能够看出，每一天的状态都考虑了以前的状态。在只发生一次交易的状况下，持有这支股票必定不能使咱们得到最大利润。所以输出是 dp[len - 1][0]，不多是持股的状态 dp[len - 1][1]，

做者：liweiwei1419 连接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/solution/bao-li-mei-ju-dong-tai-gui-hua-chai-fen-si-xiang-b/

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //定义状态：dp[i][j]--在第i天，用户持股状态为j时所得到的最大利润。  
        //状态关系：dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+price[i]);
        //          dp[i][1]=max(dp[i-1][1],-price[i]); ---j不能由0->1,因此只是-price[i]
        //初始值：dp[0][0]=0--不持股利润为0；dp[0][1]=-price[0]  
        
        //if(prices==null) return 0;   wrong!
        int len=prices.length;
        if(len<2) return 0;
        int[][] dp=new int[prices.length+1][2];
        dp[0][0]=0;
        dp[0][1]=-prices[0];
        for(int i=1;i<prices.length;i++){
            dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],-prices[i]);
        }
        return dp[len-1][0];
    }
}