C语言程序设计100例之（17）：百灯判亮

例17   百灯判亮

问题描述

有序号为一、二、三、…、9九、100的100盏灯从左至右排成一横行，且每盏灯各由一个拉线开关控制着，最初它们全呈关闭状态。有100个小朋友，第1位走过来把凡是序号为1的倍数的电灯开关拉一下；接着第2位小朋友走过来，把凡是序号为2的倍数的电灯开关拉一下；第3位小朋友走过来，把凡是序号为3的倍数的电灯开关拉一下；如此下去，直到第100个小朋友把序号为100的电灯开关拉一下。问这样作过一遍以后，哪些序号的电灯是亮着的？

输入格式

每行测试数据是一个正整数n，表明第n盏灯。

输出格式

每行输出第n盏灯的状态，0表明灯是熄灭的，1表明灯是亮的。

输入样例

1

5

输出样例

1

0

        （1）编程思路1。

        要断定哪些序号的灯是亮的，须要知道100个小朋友操做事后，每盏灯的拉线开关被拉的次数，这样凡是被拉了奇数次开关的灯最后就是亮的。

        为了保存每盏灯的拉线开关被拉的次数，须要定义一个一维数组int  a[101]；用数组元素a[1]~a[100]保存1~100号灯的开关被拉的次数（初始值为0，表示开关没有被拉1次）。

        程序用一个二重循环来模拟小朋友的操做过程。外循环控制小朋友从1~100，对于第i个小朋友，他拉第i、2i、3i…号灯的拉线开关的操做构成内循环。具体描述为：

         for (child=1;child<=100;child++)               // 小朋友从1~100

               for (lamp=child;lamp<=100;lamp+=child)    // 第i个小朋友从第i号灯开始操做

                     a[lamp]++;

        通过循环模拟小朋友拉开关的动做后，断定元素a[i]的奇偶性，若是a[i]为奇数，则第i盏灯是亮的。

        （2）源程序1。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int a[101],child,lamp;     // a[1]~a[100]保存1~100盏灯的开关被拉的次数

    for (lamp=0;lamp<=100;lamp++)

        a[lamp]=0;

    for (child=1;child<=100;child++)

       for (lamp=child;lamp<=100;lamp+=child)

           a[lamp]++;

    int n;

    while (scanf("%d",&n)!=EOF)

    {

       if (a[n]%2)

           printf("1\n");

       else

           printf("0\n");

    }

    return 0;

}

         （3）编程思路2。

        实际上，除了采用思路1的方式用数组直接模拟外，本例还能够这样作。

        咱们知道，第n盏灯的拉线开关只会由编号为其约数的小朋友拉一下。例如，第24盏灯，会由编号分别为一、二、三、四、六、八、十二、24的小朋友拉一下，它被拉了偶数次，故它最终是熄灭的。

        更通常地，对于第n盏灯，若n=i*j，则必定有编号为i的小朋友的操做将灯由0变成1，编号为j的小朋友的操做会将灯由1变成0。最后，当且仅当n=i*i时，灯是亮的。

        所以，本题实质是判断n是不是彻底平方数便可。

        （4）源程序2。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

    int n,k;

    while (scanf("%d",&n)!=EOF)

    {

       k=(int)sqrt(1.0*n);

       if (k*k==n)

           printf("1\n");

       else

           printf("0\n");

    }

    return 0;

}

习题17

17-1  THE DRUNK JAILER

        本题选自北大POJ题库（http://poj.org/problem?id=1218）

Description

A certain prison contains a long hall of n cells, each right next to each other. Each cell has a prisoner in it, and each cell is locked.

One night, the jailer gets bored and decides to play a game. For round 1 of the game, he takes a drink of whiskey,and then runs down the hall unlocking each cell. For round 2, he takes a drink of whiskey, and then runs down the

hall locking every other cell (cells 2, 4, 6, ?). For round 3, he takes a drink of whiskey, and then runs down the hall. He visits every third cell (cells 3, 6, 9, ?). If the cell is locked, he unlocks it; if it is unlocked, he locks it. He

repeats this for n rounds, takes a final drink, and passes out.

Some number of prisoners, possibly zero, realizes that their cells are unlocked and the jailer is incapacitated. They immediately escape.

Given the number of cells, determine how many prisoners escape jail.

Input

The first line of input contains a single positive integer. This is the number of lines that follow. Each of the following lines contains a single integer between 5 and 100, inclusive, which is the number of cells n.

Output

For each line, you must print out the number of prisoners that escape when the prison has n cells.

Sample Input

2

5

100

Sample Output

2

10

        （1）编程思路。

        本题与例17本质上是同类型的题，只是最终输出不同。按例17的两种思路能够编写源程序1和2以下。

        （2）源程序1。

#include <stdio.h>

int main()

{

     int t,n,i,j,cnt,a[101]={0};

    scanf("%d",&t);

    for (i=1;i<=100;i++)

          for (j=i;j<=100;j+=i)

                  a[j]=1-a[j];

   while (t--)

   {

        scanf("%d",&n);

         cnt=0;

         for (i=1;i<=n;i++)

              if (a[i]==1) cnt++;

         printf("%d\n",cnt);

     }

    return 0;

}

        （3）源程序2。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

         int t,n;

        scanf("%d",&t);

        while (t--)

         {

                   scanf("%d",&n);

                   printf("%d\n",(int)sqrt(1.0*n));

         }

         return 0;

}

17-2  开灯

        本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P1876）

题目描述

首先全部的灯都是关的（注意是关！），编号为1的人走过来，把是1的倍数的灯所有打开；编号为2的人把是2的倍数的灯所有关上；编号为3的人又把是3的倍数的灯开的关上，关的开起来……直到第N我的为止。

给定N，求N轮以后，还有哪几盏是开着的。

输入格式

一个数N（1<=N<=2^40），表示灯的个数和操做的轮数。

输出格式

若干数，表示开着的电灯编号

输入样例

5

输出样例

1 4

        （1）编程思路。

        本题中N的值可能很大，所以采用例1中的思路1用数组模拟确定会超时，所以只能采用思路2的作法。经过判断正整数i（1<=i<=N）是否为彻底平方数，决定编号为i的灯是不是开着的。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

   long int i,n;

   scanf("%ld",&n);

   for (i=1;i*i<=n;i++)

       printf("%ld ",i*i);

   return 0;

}

17-3  又是开灯

        本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P1161）

题目描述

在一条无限长的路上，有一排无限长的路灯，编号为1,2,3,4,…。

每一盏灯只有两种可能的状态，开或者关。若是按一下某一盏灯的开关，那么这盏灯的状态将发生改变。若是原来是开，将变成关。若是原来是关，将变成开。

在刚开始的时候，全部的灯都是关的。小明每次能够进行以下的操做：

指定两个数，a,t（a为实数，t为正整数）。将编号为[a],[2×a],[3×a],…,[t×a]的灯的开关各按一次。其中[k]表示实数k的整数部分。

在小明进行了n次操做后，小明忽然发现，这个时候只有一盏灯是开的，小明很想知道这盏灯的编号，但是这盏灯离小明太远了，小明看不清编号是多少。

幸亏，小明还记得以前的n次操做。因而小明找到了你，你能帮他计算出这盏开着的灯的编号吗？

输入格式

第一行一个正整数n，表示n次操做。

接下来有n行，每行两个数a,t，其中a 是实数，小数点后必定有6位，t是正整数。

输出格式

仅一个正整数，那盏开着的灯的编号。

输入样例

3

1.618034  13

2.618034  7

1.000000  21

输出样例

20

说明/提示

数据保证，在通过n次操做后，有且只有一盏灯是开的，没必要判错。

        （1）编程思路。

         本题若是采用例17的思路1进行模拟不是一种恰当的解法。首先题目中没有说明数据范围，只说“在一条无限长的路上，有一排无限长的路灯”，所以定义数组元素的个数须要斟酌；另外，n次操做，每次操做若干盏灯，模拟下来也可能会超时。所以，须要想出其余更简便的解决方法。

        注意到题目的提示“在通过n次操做后，有且只有一盏灯是开的”。也就是说n次操做中除了一盏灯被按的次数是奇数次外，其他编号的灯被按的次数必定是偶数次。

以样例给出的数据为例：

第1次，“1.618034  13”，编号为1,3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21这13盏灯的开关会被按一下；

第2次，“2.618034  7”，编号为2，5，7，10，13，15，18这7盏灯的开关会被按一下；

第3次，“1.000000  21”，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21这21盏灯的开关会被按一下。

能够看出除了编号20的灯外，其他编号均出现偶数次，即两两会成对出现。

        异或运算有一个特性：数x与自身异或其值必定为0，而0和x异或结果为x。所以，将上面的表示灯的编号的41个数所有异或起来，结果必定是答案。由于根据题目的提示“在通过n次操做后，有且只有一盏灯是开的”可知，除一盏灯外，其他灯的编号必定两两出现，异或后必定为0。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

       int n,t,i,ans;

       double a;

       scanf("%d",&n);

       ans=0;

      while (n--)

      {

             scanf("%lf%d",&a,&t);

             for (i=1;i<=t;i++)

                  ans=ans^((int)(a*i));

      }

     printf("%d\n",ans);

    return 0;

}