P4071 [SDOI2016]排列计数

时间 2019-11-11

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P4071

题意:

给出一个序列，而后$A[i]$的位置放i则称这是稳定的,而后剩下的$n-m$种则是不稳定的,c++

思路:

稳定的那$m$个数就是在$n$个数中选择$m$个数让他稳定，
而后剩下的不稳定的就是$n-m$个数作错排的方案数,git

啥是错排:

错排例题ui

这就是一个错排的板子题，而后咱们按照这个板子题来说错排的原理，spa

就是$n$封信，装到$n$个信封中，都装错了.code

咱们先看第一我的，由于第一我的装错的话有$n-1$种状况，就长这样:blog

而后拿出其中的一种来看，若是第二封信选择了第一个信封那就是后边的$n-2$个数作错排:get

若是第二个没有选第一封信，那就至关于对剩下的$n-1$个作错排.it

咱们就很容易获得一个递推式（设$f[i]$ 为给i个数作错排的方案数）:ast

\[(n - 1) \ast (f[n - 1] + f[n - 2])\]class

边界条件就是$n$为$1$和$2$的时候，当$n$只有$1$的时候只能放到这个信封中，因此方案数为$0$，

当$n$为$2$的时候只有下图这一种可能,因此方案数为$1$.剩下的递推可得.

求组合数的话咱们能够用$Lucas$定理来求得.
$Lucas$定理:
\[Lucas(n, m) \% mod = \tbinom{n \% mod}{m \% mod} * Lucas(n, m)\]

由于这个题中$n,m$太大了，咱们能够用公式直接求，由于须要$mod$一个数，

而后由于公式为$\frac {n!} {m!(n - m)!}$ 有除法，由于$mod$意义下没有除法运算，

而后咱们能够求出$m!(n - m)!$ 的逆元，让$n!$ 乘以$m!(n - m)!$ 的逆元来求$mod$意义下的组合数.

由于$mod$的这个数为质数，咱们能够直接利用费马小定理来求逆元.

费马小定理;
\[a^{p - 1} \equiv 1 \ (mod \ p)\]

因此 \[a \ast a^{p -2} \equiv 1 \ (mod \ p)\]
因此在$mod p $的状况下$a$的逆元就是$a ^ {p - 2}$

作的时候咱们能够先处理出前$1000000$的错排和阶乘.

code :

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000010
#define M 1010
#define ll long long

using namespace std;
ll mod = 1e9 + 7;
ll t, n, m, f[N], jc[N];

ll read() {
    ll s = 0, f = 0;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) s = s * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return f ? -s : s;
}

ll q_pow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = (ans * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll c(ll a, ll b) {
    return (jc[a] % mod * q_pow(jc[b] * jc[a - b] % mod, mod - 2) % mod) % mod;
}

ll lucas(ll a, ll b) {
    if (!b) return 1;
    else return (lucas(a / mod, b / mod) * c(a % mod, b % mod)) % mod;
}

int main() {
    t = read();
    f[1] = 0, f[2] = 1, jc[1] = 1, jc[2] = 2;
    for (ll i = 3; i <= 1000000; i++)
        f[i] = ((i - 1) * (f[i - 1] + f[i - 2]) % mod) % mod, jc[i] = (jc[i - 1] * i) % mod;
    while (t--) {
        n = read(), m = read();
        if (n == m) puts("1");
        else if (n - m == 1) printf("0\n");
        else if (m == 0) printf("%lld\n",f[n]);
        else {
            ll ans = (f[n - m] % mod * lucas(n, m)) % mod;
            printf("%lld\n", ans);
        }
    }
    return 0;
}