两行代码实现快速幂取模算法

　　咱们知道，对于a^p（p>0）的求值，朴素的求幂算法采用递推的方式，即将底数a累乘指数p次做为结果。这种算法的时间复杂度为O(p)，当指数p很大（>1e7）时，即使该算法拥有线性时间复杂度，在当前主流的机器上仍须要花大量的运算时间。

　　所以须要对朴素幂算法进行改进，一种高效的方式是分治：当p为偶数时，直接将a^p分为(a^p/2)*(a^p/2)两部分，而每一个a^p/2又可继续作一样的划分，直到降为1次幂；当p为奇数时，咱们从式子中提出一个a，则剩下的a^p-1就变为了偶指数形式，回到了前述状况；当指数为0时，能够很容易得出结果为1。最后再将分出的结果合并便可。由此咱们能够写出递归式的数学表达：

　

　　分治解法的时间复杂度为O(log p)，这个结果相比线性复杂度而言有了很大提高，例如当指数p=18,446,744,073,709,551,616时，只需计算64次乘法便可得出结果。

　　如何实现这个算法呢？首先会想到递归地处理这个问题：注意对于较大的运算结果，应考虑高精度模拟运算，或者考虑本文末尾的模m算法。

typedef long long ll;

ll fspow(ll a, ll p) {
    if(p==0)
        return 1;
    if(p&1) {
        ll t = fspow(a, p-1);
        return t*a;
    } else {
        ll t = fspow(a, p/2);
        return t*t;
    }
}

　　不少人对递归有一种直觉上的抵触，认为递归效率不高。实际并不老是如此。咱们知道函数调用的时间开销主要体如今两个方面：一、调用栈会保存函数的形参、局部变量、返回地址等信息，这须要由高延迟的访存指令来实现；二、分支指令会形成额外的开销，例如因为分支预测失效形成的流水线冲刷等等。

　　但事实是，若数据规模很大时，相比于不当心把本来O(log p)的算法活生生地写成O(p)的算法形成的浪费而言，这些由系统底层形成的开销是微不足道的。除非你所面临的是执行性能很是有限的系统，或者你想经过极限优化来避免被卡常，不然大可没必要在乎函数调用引发的开销。固然必须考虑递归的空间复杂度。

 

两行代码的非递归实现

　　递归算法的致命缺陷是它会增加地占用栈空间，这一点是咱们不但愿看到的。可否有一种既能保持简洁优雅，又能拥有常数空间复杂度的快速幂算法呢？

　　有的，它就是快速幂算法的非递归版本。下面这两行代码已经将核心浓缩到了极致：

1 for (s=1; p;p/=2,a=a*a)
2         if (p&1) s=s*a;

　　其中a为底数，p为指数，算法结束后，s=a^p。

　　再来看代码的原理。思路还是分治，这与咱们以前的讨论是一致的，不一样的是再也不递归地求解。

　　“分”的本质是使指数折半，这里指数必须为偶数。当指数折半后，要使幂结果不变，底数必须平方。形式化描述。而指数p/2又可继续分为p/4 p/8……1，底数则不断平方。当指数降为1时，底数即为要求的结果。当指数不是偶数时，先拆出一个底数，则剩下的幂就是偶次幂，再按如上方法处理便可。

　　代码中涉及一些小技巧：

　　　　1. 利用了整除算符/的向下取整特性。当指数p为奇数时，p/2的结果实质上等同于p-1/2，这就免去了当咱们拆出一个底数时须要把p减一的麻烦。事实上，因为除数为2，也能够写成p>>=1，本质上利用了二进制除法。

　　　　2. 咱们知道%运算符的开销是很大的，这里只需判断p的奇偶性，直接判断p的二进制最低位便可。

 

具体应用

　　幂运算在许多场合都有着重要的运用。例如RSA非对称加密算法中，明文经过以下公式进行加密：

C_i = M_i^e mod n

　　　　其中Ci为密文，Mi为与明文有关的数值，(e, n)为公钥对。

　　而密文经过以下公式解密：

M_i = C_i^d mod n

　　其中Mi为与明文有关的数值，(d, n)为私钥对。

 

　　能够看到，不管是加密仍是解密，都要用到幂运算与模运算。这就与咱们上文所述的快速幂运算颇有关联。

 

　　不止RSA，在其它运用中也经常出现类型的形式，它们归结下来以下面这个式子：

a^p mod k

　　因为对幂取模，最终结果并不会大于等于k。再看看咱们的快速幂算法，中间结果极可能远大于k，若是中间结果超出基本数据类型的范围，还须要经过高精度模拟运算。咱们很快发现，当k可经过基本数据类型表示时，彷佛没有必要采用高精度算法，上文的快速幂算法还能够改进。

　　数论指出，(a*b) mod k = (a mod k)*(b mod k) mod k。即两个数的乘积再取模，等于两个数分别取模再相乘，最后取模。利用这个性质，咱们能够将a^p mod k等价变形为(a mod k)^p mod k，同时每次作乘法时，都先利用该性质缩小乘数，再相乘。

　　上述代码修改成

1 a %= k;
2 for (s=1; p;p/=2,a=(a*a)%k)
3          if (p&1) s=(s*a)%k;

　　其中a，p，k，s的含义与上文一致。

　　这即是快速幂模k算法的非递归实现。