常见回归和分类损失函数比较

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损失函数的通常表示为\(L(y,f(x))\)，用以衡量真实值\(y\)和预测值\(f(x)\)之间不一致的程度，通常越小越好。为了便于不一样损失函数的比较，常将其表示为单变量的函数，在回归问题中这个变量为\(y-f(x)\)，在分类问题中则为\(yf(x)\)。下面分别进行讨论。

回归问题的损失函数

回归问题中\(y\)和\(f(x)\)皆为实数\(\in R\)，所以用残差 \(y-f(x)\)来度量两者的不一致程度。残差 (的绝对值) 越大，则损失函数越大，学习出来的模型效果就越差（这里不考虑正则化问题）。


常见的回归损失函数有：

• 平方损失 (squared loss) ： \((y-f(x))^2\)
• 绝对值 (absolute loss) : \(|y-f(x)|\)
• Huber损失 (huber loss) : \(\left\{\begin{matrix}\frac12[y-f(x)]^2 & \qquad |y-f(x)| \leq \delta \\ \delta|y-f(x)| - \frac12\delta^2 & \qquad |y-f(x)| > \delta\end{matrix}\right.\)

其中最经常使用的是平方损失，然而其缺点是对于异常点会施以较大的惩罚，于是不够robust。若是有较多异常点，则绝对值损失表现较好，但绝对值损失的缺点是在\(y-f(x)=0\)处不连续可导，于是不容易优化。


Huber损失是对两者的综合，当\(|y-f(x)|\)小于一个事先指定的值\(\delta\)时，变为平方损失，大于\(\delta\)时，则变成相似于绝对值损失，所以也是比较robust的损失函数。三者的图形比较以下：

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分类问题的损失函数

对于二分类问题，\(y\in \left\{-1,+1 \right\}\)，损失函数常表示为关于\(yf(x)\)的单调递减形式。以下图：

\(yf(x)\)被称为margin，其做用相似于回归问题中的残差 \(y-f(x)\)。


二分类问题中的分类规则一般为 \(sign(f(x)) = \left\{\begin{matrix} +1 \qquad if\;\;f(x) \geq 0 \\ -1 \qquad if\;\;f(x) < 0\end{matrix}\right.\)

能够看到若是\(yf(x) > 0\)，则样本分类正确，\(yf(x) < 0\) 则分类错误，而相应的分类决策边界即为\(f(x) = 0\)。因此最小化损失函数也能够看做是最大化margin的过程，任何合格的分类损失函数都应该对margin<0的样本施以较大的惩罚。

一、 0-1损失 (zero-one loss)

\[L(y,f(x)) = \left\{\begin{matrix} 0 \qquad if \;\; yf(x)\geq0 \\ 1 \qquad if \;\; yf(x) < 0\end{matrix}\right.\]

0-1损失对每一个错分类点都施以相同的惩罚，这样那些“错的离谱“ (即 \(margin \rightarrow -\infty\))的点并不会收到大的关注，这在直觉上不是很合适。另外0-1损失不连续、非凸，优化困难，于是常使用其余的代理损失函数进行优化。

二、Logistic loss
\[L(y,f(x)) = log(1+e^{-yf(x)})\]

logistic Loss为Logistic Regression中使用的损失函数，下面作一下简单证实：

Logistic Regression中使用了Sigmoid函数表示预测几率：\[g(f(x)) = P(y=1|x) = \frac{1}{1+e^{-f(x)}}\]

而\[P(y=-1|x) = 1-P(y=1|x) = 1-\frac{1}{1+e^{-f(x)}} = \frac{1}{1+e^{f(x)}} = g(-f(x))\]

所以利用\(y\in\left\{-1,+1\right\}\)，可写为\(P(y|x) = \frac{1}{1+e^{-yf(x)}}\)，此为一个几率模型，利用极大似然的思想：

​ \[max \left(\prod\limits_{i=1}^m P(y_i|x_i)\right) = max \left(\prod\limits_{i=1}^m \frac{1}{1+e^{-y_if(x_i)}}\right)\]

两边取对数，又由于是求损失函数，则将极大转为极小：

\[max\left(\sum\limits_{i=1}^m logP(y_i|x_i)\right) = -min \left(\sum\limits_{i=1}^m log(\frac{1}{1+e^{-y_if(x_i)}})\right) = min\left(\sum\limits_{i=1}^m log(1+e^{-y_if(x_i)}\right)\]

这样就获得了logistic loss。

若是定义\(t = \frac{y+1}2 \in \left\{0,1\right\}\)，则极大似然法可写为：

\[\prod\limits_{i=1}^m (P(t_i=1|x_i))^{t_i}((1-P(t_i=1|x))^{1-t_i}\]

取对数并转为极小得：

\[\sum\limits_{i=1}^m \big\{ -t_i\log P(t_i=1|x_i) - (1-t_i)\log (1-P(t_i=1|x_i))\big\}\]

上式被称为交叉熵损失 (cross entropy loss)，能够看到在二分类问题中logistic loss和交叉熵损失是等价的，两者区别只是标签y的定义不一样。

三、Hinge loss
\[L(y,f(x)) = max(0,1-yf(x))\]

hinge loss为svm中使用的损失函数，hinge loss使得\(yf(x)>1\)的样本损失皆为0，由此带来了稀疏解，使得svm仅经过少许的支持向量就能肯定最终超平面。

hinge loss被翻译为“合页损失”，那么合页究竟长啥样？如图，确实有点像hinge loss的形状：

来看下 hinge loss 是如何推导出来的，带软间隔的svm最后的优化问题可表示为：
\[ \begin{align} & \mathop{min}\limits_{\boldsymbol{w},b,\xi} \frac12 ||\boldsymbol{w}||^2 + C\sum\limits_{i=1}^m\xi_i \tag{1}\\ & s.t. \quad y_i(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i + b) \geqslant 1 - \xi_i \tag{2}\\ & \qquad\;\;\;\xi_i \geqslant 0\; , \;\;\;\;i = 1,2,..., m \tag{3} \end{align} \]
\((2)\) 式从新整理为 $ \xi_i \geqslant 1 - y_i(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i + b)$ 。若 \(1 - y_i(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i + b) < 0\) ，因为约束\((3)\) 的存在，则 \(\xi_i \geqslant 0\) ；若\(1 - y_i(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i + b) \geqslant 0\) ，则依然为 $ \xi_i \geqslant 1 - y_i(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i + b)$ 。因此\((2),(3)\) 式结合起来：
\[ \xi_i \geqslant max(0,\, 1 - y_i(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i + b)) = max(0,\, 1-y_if(x_i)) \]
又因为 \((1)\) 式是最小化问题，因此取 \(\xi_i\) 的极小值，即令 \(\xi_i = max(0,1-yf(x))\) 代入 \((1)\) 式，并令\(\lambda = \frac{1}{2C}\) ：
\[ min\; C\sum\limits_{i=1}^m max(0,\, 1-y_if(x_i)) + \frac12 ||\boldsymbol{w}||^2 \quad {\large \propto} \quad min\; \sum\limits_{i=1}^m \underbrace{max(0,\, 1-y_if(x_i))}_{hinge \; loss} + \lambda ||\boldsymbol{w}||^2 \]
另外能够看到 svm 这个形式的损失函数是自带参数 \(\boldsymbol{w}\) 的\(L2\) 正则的，而相比之下Logistic Regression的损失函数则没有显式的正则化项，须要另外添加。

四、指数损失(Exponential loss)
\[L(y,f(x)) = e^{-yf(x)}\]

exponential loss为AdaBoost中使用的损失函数，使用exponential loss能比较方便地利用加法模型推导出AdaBoost算法 (具体推导过程)。然而其和squared loss同样，对异常点敏感，不够robust。

五、modified Huber loss
\[L(y,f(x)) = \left \{\begin{matrix} max(0,1-yf(x))^2 \qquad if \;\;yf(x)\geq-1 \\ \qquad-4yf(x) \qquad\qquad\;\; if\;\; yf(x)<-1\end{matrix}\right.\qquad\]

modified huber loss结合了hinge loss和logistic loss的优势，既能在\(yf(x) > 1\)时产生稀疏解提升训练效率，又能进行几率估计。另外其对于\((yf(x) < -1)\) 样本的惩罚以线性增长，这意味着受异常点的干扰较少，比较robust。scikit-learn中的SGDClassifier一样实现了modified huber loss。

最后来张全家福：

从上图能够看出上面介绍的这些损失函数均可以看做是0-1损失的单调连续近似函数，而由于这些损失函数一般是凸的连续函数，所以经常使用来代替0-1损失进行优化。它们的相同点是都随着\(margin \rightarrow -\infty\)而加大惩罚；不一样点在于，logistic loss和hinge loss都是线性增加，而exponential loss是以指数增加。

值得注意的是上图中modified huber loss的走向和exponential loss差很少，并不能看出其robust的属性。其实这和算法时间复杂度同样，成倍放大了以后才能体现出巨大差别：

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