「总结」： 几率与指望

知识点: 几率与指望

知识归类: 数学

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胡言乱语·前言

做为一名先后2000万的高清菜鸡（乱入了抱歉）

以前考试遇到几率当即跳，感受几率的题目都不可作。

今天来死磕几率与指望啦。

（可能几率与指望只是个开头。之后会陆续复习一些数学知识。）

另外就是，我写这东西本身复习用的哇，严谨性什么的……

0/1：定义

定义函数$P(A)$表示A事件发生的可能性大小，称为几率测度。

则A是事件集合$F$的一个子集，而且全部事件$A$均可以看做是样本空间$\Omega$的一个子集，那么合法的三元组$(\Omega,F,P)$被称为几率空间。

好抽象啊不看不看。

$\Omega$：样本空间。$F$：事件全集。$P$：几率函数。

$F$与$\Omega$的区别：

$F={A,B,C}$，则$\Omega=\{\{A,B,C\},\{A,B\},\{B,C\},\{A,C\},\{A\},\{B\},\{C\},\varnothing \}$

0/2：条件几率公式

$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

（$B$事件发生而且$A$事件的几率等于$B$事件发生状况下$A$、$B$同时发生的几率）

0/3：全几率公式

$P(A) = \sum\limits_{i} P(A | B_i) * P(B_i)$

基本思想：将事件$A$分解成几个小事件，经过求小事件的几率，而后相加从而求得事件$A$的几率。而将$A$分割时，并不是对$A$直接进行分割，而是找到样本空间$\Omega$的一个划分，从而将$A$事件分红几个部分。

举个例子：P(我和remarkable有一我的颇有钱)=P(这我的是remarkable)*P(remarkable颇有钱|这我的是remarkable)+P(这我的是我)*P(我颇有钱|这我的是我)

（以上柿子等价于：$\frac{1}{4}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}+0*0 $）

0/4：贝叶斯公式

$P(B_i | A)=\frac{P(B_i)P(A | B_i)}{\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)P(A | B_j)}$

基本思想：与全几率公式相反，贝叶斯公式是创建在大事件A已经发生了的基础上，分割中小事件$B_i$的几率。

柿子意义：计算在$A$事件发生的条件下发生$B_i$事件的几率。

0/5：指望

指望是“随机变量的指望”。

（啥是随机变量 /懵逼脸.jpg）

随机变量是定义在几率空间上的函数。随机试验的结果不一样，随机变量的取值不一样。

不一样的基本结果可能致使随机变量取到相同的数值。

对于随机变量X，它的指望$E(X)=\sum$ 基本结果i发生的几率*发生基本结果i时X的数值，（i是一个基本结果）

指望具备可加性，也叫指望的线性性：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

（基础知识简单然而就是不会作题，赶忙找题刷去了……）

0/F：一些idea和题目题解乱堆

偶然看到一些题目，有的并不会，查了题解大概明白了。有的……好像并无本身秒掉的。

你有一副扑克牌，$54$张，平均分红三堆，每堆$18$张，求大小王在同一堆的几率。

题解：设随机事件$A$为大小王在同一堆，$A_i$为大小王同在第$i$堆，则有：

$P(A)=P(A_1+A_2+A_3)$

根据几率的线性性：上式$=\sum\limits_{i=1}^3 P(A_i)$

设$B_i$为大王在第$i$堆的几率，$S_i$为小王在第i堆的几率。

根据条件几率公式：上式$=\sum\limits_{i=1}^3 P(B_i|S_i)*P(S_i)$

$=3*(17/53)*(1/3)=17/53$.

一共有n个牛肉堡，n个鸡肉堡，2n我的，求最后两人拿到同一种汉堡的几率

题解：事件“最后两人拿到同一种汉堡”很差想，咱们能够想它的对立事件“最后两人拿到不一样的汉堡”。

因此咱们须要让前2n-2我的各自拿走n-1种汉堡。因为最后两种汉堡都剩下了一个，因此前面的每一个人都会做出选择。

事件的全集就变成了$2^{2n-2}$，而我想要的事件是其中n-1我的拿了一种汉堡，$C_{2n-2}^{n-1}$便可。

答案为：$\frac{C_{2n-2}^{n-1}}{2^{2n-2}}$

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