几率笔记7——数学指望

　　若是知道一个随机变量的分布函数，就能知道这个随机变量体现出的随机性的客观规律。可是不少时候咱们不清楚分布函数是什么。有些时候，对于一批数据来讲，未必必定要关心分布函数。好比一批产品，咱们可能只关心这批产品的平均使用寿命，这里的平均使用寿命是随机变量的某个数字指标，称为随机变量的数字特征。数字特征与“随机”没有任何关系，确切地说是经过一系列计算方法将变量的随机性消除了。

数学指望的概念

　　数学指望是一种重要的数字特征，它反映随机变量平均取值的大小，是试验中每次可能结果的几率乘以其结果的总和。这里的“指望”一词来源于赌博，大概意思是当你下注时，指望赢得多少钱。

　　简单地说，数学指望就是均值，咱们以一个例子来讲明数学指望。

　　有一个射击比赛，分为大、中、小三类目标，其分值和命中率以下：

　　若是一个选手射击了三次，假设它必定会命中目标，那么指望的平均分是多少？

　　这个“指望的平均分”就是一个数学指望，看起来挺简单：

　　很遗憾，这是错误的结果，它忽略的命中率。正确的均值是：

　　命中率至关于计算机算法中常说的权重（权重等同于几率论中的几率），经过加权平均才能获得合理的均值。所以说，数学指望就是合理的加权平均值，指望体如今合理二字上，指望值并不必定包含在变量的输出值集合里。

离散型和连续型随机变量的数学指望

　　离散型的数学指望容易理解，离散事件的每一个取值都对应一个几率：

　　能够把x_i看做得分，p_i至关于获得该分值的几率，它的数学指望是全部变量的加权平均：

　　对于连续型事件来讲，某一点的几率是没有意义的（详细说明参见上一章的内容），咱们要关注的是某两个点之间的分布。实际上咱们能够借助密度函数表达某一点上的几率。设f(x)是连续型事件的密度函数，那么P(x)=f(x)dx，虽然计算f(x)dx没有意义，也没法计算，可是并不妨碍用它来表达P(x)。如今知道了某一变量的值和该变量下事件发生的几率（权重），能够计算它的数学指望（加权平均）了：

随机变量函数的数学指望

　　有一个随机变量X，Y=g(X)，Y的数学指望是什么？

　　g(X)是将随机变量包裹在一个函数内，这彷佛有些使人迷惑，咱们仍然以射击的例子说明。

　　以前的射击比赛得分过低，组织方打算提升分值，具体作法是在原来的分值基础上乘以100，即g(x) = 100x：

　　如今的目标是计算g(X)的数学指望。此次没那么难以理解了：

　　虽然得分变了，但命中率未变，也就是每一个变量出现的几率没有变。将问题泛化，若是X是离散型随机变量，那么随机变量函数Y=g(X)的数学指望是：

　　若是X是连续型随机变量，那么随机变量函数Y=g(X)的数学指望是：

　　其中f(x)dx仍然至关于X=x时事件发生的几率P(x)。

 

数学指望的性质

　　 设C为一个常数，X和Y是两个随机变量，则：

　　

　　性质1是说指望是做用在随机变量上的，对常数无效；性质3和性质4能够推到到任意有限个相互独立的随机变量之和或之积的状况。　　

 

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　　 做者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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